Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
4-іXl -х± і o)k = -Hx1 -х± io)fc_1, ax
определим при Л = 0,1,2,... два новых сплетающих оператора
OO .
М+/)(аг) =[ I-^ldx1,
к +Jn ' 2тгі J xi-x-io '
-OO
(A-f){x) = -±~. 1 fiX+1){xi) dxi. v J,K ' 2тгі J Xi - X + io
-oo
Утверждение 7. Ядро оператора А+ составляют функции, граничные к голоморфным в нижней полуплоскости функциям комплексного переменного z = х+їу. Ядро оператора А- 330
Глава 2,
составляют функции, граничные к голоморфным в верхней полуплоскости функциям комплексного переменного. Многочлены степени ^ Л аннулируются операторами А±.
Утверждение 7 легко получить из явного вида операторов А+ и А__
Из этого утверждения следует, что в пространстве CJ0e(K) при целых неотрицательных значениях параметра Л той же четности, что и є, существует три инвариантных подпространства
Зд = ker А+, = ker 2>Л = ker А+ П ker А—
Записывая сплетающие операторы в виде
(Aif)(X) = Ит [ --/(.Л+1) . .. dxи
27Г1 у—*о J (an - (ar =F 4/))
легко видеть, что образ оператора А+ — это функции из пространства Cf^_2e(K) граничные к функциям голоморфным в верхней полуплоскости; образ оператора А- составляют функции из С~Л_2е(К) граничные к функциям голоморфным в нижней полуплоскости.
Представления в подпространствах Im А± С С^°Л_2 е неприводимы и называются представлениями дискретных серий. Обозначим их через п = 0,1,2,... Очевидно, что в фактор-пространствах J+а/©а и 3~а/©а при целых положительных Л реализуются представления, эквивалентные представлениям ?>" и D" соответственно.
В пространстве Cto11 (К) имеется два инвариантных подпространства функций, граничных к функциям голоморфным в верхней и нижней полуплоскостях соответственно. Представления Dи D^I1 в этих пространствах называются границами дискретных серий.
6.66. Реализация представлений дискретных серий в пространствах голоморфных функций. Верхнюю полуплоскость, параметризованную переменной z = = X + iy, вместе с римановой метрикой
2 _ dx2 + dy2 ' Ay2 \ §6. Индуцированные представления 331
будем отождествлять с гиперболической плоскостью и обозначать Н\. Как показано в п. 5.8 гл. 1, многообразие однородно относительно дробно-линейных изометрий
_ az + с z^zg-bz + d'
и диффеоморфно фактор-пространству SO(2)\SL(2, М). Инвариантная мера на Н\ равна
dxdy і dzdz dfi(x, у) = — -
2 (Imz)2
Положим dfin(x,y) = yndxdy, n = 0,1,2,..., n и определим пространство L\ol(H\,dp,n) голоморфных функций на H+, квадратично интегрируемых по мере dp,n. Зададим в L^ol(H+,dfin) скалярное произведение
(Л, /а)» = IJ ШМг)(1т z)n dz dz. (6.58)
Можно показать, что если последовательность голоморфных функций {Д} сходится в топологии пространства L2 на открытом подмножестве комплексной плоскости, то она равномерно сходится к голоморфной функции на любом его компактном подмножестве [38]. Из этого утверждения следует полнота пространства L\ol(H\,dp,n).
Определим в , dpn) представление группы SL(2, М):
T?(g)f(z) = (bz + <Г"-2/ - (6.59)
Аналогично определяется представление Т" в пространстве L2(H^.,dfin) функций, голоморфных в нижней полуплоскости.
Утверждение 8. Представления Т± в пространст-ве L^ol(H^.,dfin) унитарны, неприводимы и эквивалентны представлениям DJ дискретных серий.
Схема доказательства. Непосредственными вычислениями убеждаемся в инвариантности скалярного произведения (6.58) при действии операторов (6.59). Это доказывает унитарность. Доказательство неприводимости легче всего 332
Глава 2,
провести, обращаясь к представлениям алгебры SL(2, Е). Эквивалентность представлений Т± представлениям ?)J следует из формулы аналитического продолжения:
/W= 2Й J I^Trfxi-
Замечание. Схема построения представлений основной неунитарной серии, изложенная на примерах групп5Х(2, C)hSX(2, R), сохраняется в основных чертах для произвольной связной полупростой группы Ли G. Для каждой такой группы имеет место разложение Ивасавы G = NAK, где К — максимальная компактная подгруппа в G, и определена минимальная параболическая подгруппа P = NAM, где M — централизатор А в К. Представления Indp(7r), где 7г — конечномерные неприводимые представления подгруппы Р, образуют основную неунитарную серию представления группы G [33]. Фундаментальная теорема Хариш-Чандры о подфакторах утверждает, что каждое неприводимое кеазипростое представление группы G е банаховом пространстве эквивалентно одному из неприводимых подфакторов основной неунитарной серии. Условие квазнпростоты означает, что сужение представлений группы G на максимально компактную подгруппу К содержит неприводимые представления этой подгруппы с конечной кратностью.
6.7. Неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре. В этом пункте опишем все неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре, которую также называют неоднородной группы Лоренца. В работе Ви-гнера 1939 года эти представления получены как индуцированные представления. Утверждение о полноте представлений также принадлежат Вигнеру, хотя в современных изложениях при доказательстве этого факта обычно ссылаются на общую теорию индуцированных представлений полупрямых произведений, разработанную Макки [5].
