Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Важную роль она играет в двумерных конформных теориях поля, в ядерной физике и во многих других областях.
Индуцированные представления группы 5L(2,E) строятся по той же схеме, что и представление ее комплекси-фикации 51/(2,С), но по сравнению с последней структура представлений более сложная. Имеются новые серии представлений — так называемые дискретные серии, реализуемые в пространствах голоморфных (в верхней или нижней полуплоскости) функций и играющие важную роль в приложени-
Как и в случае группы SL(2, С) изложение начнем с разложения Ивасавы. Напомним (см. утверждение 3 в § 3, гл. 1), что произвольный элемент g Є SL(2, Е) однозначно представим в виде
«=(:І)-(ІЇ)(Т ?)Cf 1»S)' ^
где г = у/с2 + сР, у = (ac~bd)r~2, cos j = dr-1, —2тг ^ а < 2ж.
Если в качестве индуцирующей подгруппы взять подгруппу верхних треугольных матриц
P=-Jft=^901 q = г sign ?, рєм|,
то однородное пространство M = P\SL(2,&) ~ С2\К, где К ~SO(2) — максимальная компактная подгруппа в 52/(2, Е), a C2 = (е, —е} — циклическая подгруппа порядка 2, диффео-морфно окружности S1 С 50(2);
ft = (*(«)= (C?Sa -8Іпа)|о<а<2Л.
I \sina cos aJ | J
Если d / 0, то для g Є SL(2,R) имеет место разложение
О Co1:) (-)• <"•>
где о = d,п= -3,х — Вещественная переменная х локаль-а а
но параметризует окружность S1 в окрестности Ux = {fc(a) Є\ §6. Индуцированные представления 327
і
Є S11 |а| < я-}. При этом cosa = (1 + ж2) 2, sina = ж(1 +
Бели сф 0, то справедливо разложение
(а Ь\ _ (1 п'\ Z9'"1 OX (0 -1\ {с d)-{0 lj V 1 д'Ді
где q' = с, аг' = ^,n' = Вещественная переменная ж' параметризует окружность S1 в окрестности U2 = {/с(а) є S110 <
і
< а < 2іт}. При этом cosa = —(1 + ж2) 2. На пересечении Ui П U2 параметры жиж' связаны соотношением ж' = ж-1.
Все конечномерные представления индуцирующей подгруппы P одномерны и задаются формулой
.[(V ?)] =MaSigne<7, (6.52)
где Л — произвольное комплексное число, а є = 0, 1 и фиксирует неприводимые представления циклической подгруппы C2.
Представление (6.52) определяет условие склейки функций из пространств C00(Ui) и C00(U2) на пересечении карт. Это условие эквивалентно асимптотическому условию
/(ж) ~ с|ж|А Signe^). (6.53)
|ж|—>00
В пространстве Сд°є(М) бесконечно дифференцируемых функций вещественного переменного, удовлетворяющих асимптотическому условию (6.53), определим операторы индуцированного представления Indp^2'R^(7r):
T^(g)f(X) = \bx + d|A sign6(bx + d)f (grj^) • (6.54)
Утверждение 5. Если А не является целым числом той же четности, что и є, то представление ТІА'Є1 неприводимо.
Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 2 п. 6.5а. Следуя [15],328 Глава 2,
целочисленные значения параметра Л той же четности, что и є, будем называть целыми точками.
Если Л = — 1 + ір, р Є Ж, то в пространстве CJ0e(K) определено инвариантное скалярное произведение
Uuh) = J Mxjfiix) dx.
R
Тогда представление продолжается до унитарного
представления в гильбертовом пространстве L2(W). Множество представлений TtA'el, р є М, р ф 0, є = ±1, действующих в пространстве L2(M) по формуле (6.54), составляет основную унитарную серию представлений группы SL(2, Ж). Как следует из предыдущего утверждения, все представления основной унитарной серии неприводимы.
Пусть ReA < —1. Определим отображение А: CJ0e(M) з е, осуществляемое интегральным оператором
(Af)(x) = J Iar1 -ar|-A-2 Signe(Ж1 -x)f(x1)dx1.
(6.55)
При ReA ^ —1 оператор (6.55) определяется методом аналитического продолжения по параметру А. Несложно проверить сплетающее соотношение
AT^(g) =T^x-2'^A(g). (6.56)
Утверждение 6. Если А не является целым числом той же четности, что и є (не является целой точкой), то оператор А осуществляет изоморфизм пространств CJ0e(K) ~ ~ С^д_2 е(М) и эквивалентность представлений ~
Доказательство см. в [15].
Как в случае группы SL(2, С), наличие оператора А позволяет определить инвариантное скалярное произведение при є = 0, -2 < А < О
(Mf2)а = р^1 J Ix1 - x2\~x~2f (X1) f (х2) dXl dx2
(6.57)\ §6. Индуцированные представления 329
(при —1 < Л < О интеграл (6.57) надо понимать в смысле главного значения). Пополняя пространство C^o0(R) относительно нормы ІІ/Ц = у/(/, /), получим гильбертово пространство и унитарное представление T^a'0' в нем. Это представление дополнительной серии группы SL(2, R). Если ограничить область допустимых значений параметра Л открытым интервалом Л є] — 1, Of, то представления дополнительной серии не-приводимы и попарно неэквивалентны.
6.6а. Конечномерные представления, дискретные серии и их границы. Рассмотрим представления TtA,el в целых точках. Если Л — целое число той же четности, что
и є, то формулу (6.54) можно записать в виде = <*+#/(?%).
где Л = 0, ±2, ±4,..., при є = 0 и Л = ±1, ±3,..., при є = 1.
Пусть Л — неотрицательное целое число. Тогда справедливо такое равенство обобщенных функций:
= і [<„ - . - юг" + ¦
Используя соотношения