Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 89

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 154 >> Следующая


Индуцирование согласно правой части формулы (6.10) называют индуцированием по стадиям.

6.2. Индуцированные представления конечных групп. В случае конечных групп конструкция индуцированных представлений становится особенно прозрачной. Основные утверждения этого пункта получены Г. Фробениусом в последнем десятилетии прошлого века.

Пусть G — конечная группа порядка N, H — ее подгруп-

N TT

па индекса v = ——тт, а 7г — конечномерное представление H

oi a H в пространстве Sjn.

Утверждение 2. Размерность представления Ind^(Tr) равна произведению размерности пространства Sj7r на индекс V подгруппы H. §6. Индуцированные представления 305

Доказательство. Пусть X1 = е и Xi, і = 2,3,... , v, — представители левых смежных классов относительно подгруппы Н. Рассмотрим линейное отображение р из пространства Ln(G,ff) функций на G со значениями в ff в прямую сумму v экземпляров пространства ff:

P- /-> {f (Xl)iI(Xi),... ,/(*„)} Є фйГ- (6-12)

г=1

Это отображение обратимо, поскольку для каждого gi є G найдется такое Xi, что g,- = Iixi; тогда значение функции / В точке gi вычисляется по формуле

f(gi) = *(h)f(zi).

Поскольку Lfj(G,ff) ~ Ф f)T, то AimLH(G,ff) = (dim*)*)*'

i=i

и утверждение доказано.

Соответствие (6.12) проясняет строение операторов индуцированного представления конечной группы. Если Xi и Xj — два представителя смежных классов, связанные соотношением

Xig = h(xig)xj, H(Xtg) = xtgxj1,

то

Tindg(.){g)f{xi) _ Tl°Hg)f(xi) = <h(xig))f(xj), (6.13)

где/ = V(X1), f(x2),... ,f(xv)} Є Формула (6.13) озна-

і

чает, что оператор Tlnd (g) в пространстве имеет блоч-

ную структуру

TInd(g) = «xigx J1)). (6.14)

При этом полагаем, что irixigxj1) = 0, если xigxj1 ?. Н.

Из формулы (6.14) следует формула для характера индуцированного представления Indg(Tr) конечной группы:

Xlnd(S) =Ex5r^J1)' (6-15)

Xj 306 Глава 2,

где X* — характер представления іг подгруппы Н, продолженный нулями на всю группу G.

Бели положить г = hxi, h Є Н, то формулу (6.15) можно переписать в виде

xlnd^ = dftf ? xHrgr-1) (6.16)

г €G Tgr-1ZH

Приведем еще одно выражение для характеров индуцированных представлений. Пусть, как и раньше, Oi, Oi,... ,Ok — классы сопряженных элементов группы G, a Pj — количество элементов в классе Oj. Поскольку Oj — однородное пространство, то Oj = GfHj, где Hj — стабилизатор фиксированного элемента из Oj. Если hj = ordHj, то OrdGr = Pjhj. Тогда значение индуцированного характера на классе Oj представляется формулой

Xlnd(Oi) = ^y E *"(*>• (6-17)

zeOjHH

Эта формула легко следует из (6.16). Действительно, когда г пробегает всю группу G, то элемент rgyr-1, gj Є Oj, пробегает класс Oj и принимает каждое свое значение hj раз. Поэтому

YxHrgr-1) =hj E Xir(Z).

r€G zeOj

Но поскольку xv(z) отличаются от нуля лишь для z Є Н, то область изменения элемента z следует ограничить областью Oj П Н. Формула (6.17) доказана.

Теорема 1 (Теорема взаимности Фробениуса).

Пусть Ta и 7г — неприводимые представления конечной группы G и ее подгруппы H соответственно. Тогда кратность вхождения представления Ta в представление Ind^ (тг) равна кратности, с которой представление 7гА содержится в сужении на подгруппу H представления Ts:

(Ыя(т): Ta) = (Та\н- 5г)- §6. Индуцированные представления 307

Доказательство. Пусть ^lnd — характер индуцированного представления Indg (ет). В общем случае оно приводимо. Пусть xInd = Yl таХа-> гДе та — кратности неприводимых составляющих. Воспользовавшись формулой (6.17), имеем

3 3 a zeOjDH

Умножая обе части этого равенства на X0(Oj) и суммируя по j, находим

Xa(Oj)X0(Oj)

- = TSJHrExW E X-W.

^rria hj ОТ&Н

a,j J j zeOjHH

(6.18)

Приняв во внимание, что hj = ord G/pj и воспользовавшись соотношением ортогональности для характеров, вычислим левую часть соотношения (6.18):

E гпа^-ха (Oj)W(Pj) = тр. (6.19)

а,І 3

Пусть X01 н обозначает сужение характера х^ на подгруппу Н. Если сужение TqIя приводимо, то х0\н = где Хн —

неприводимые характеры подгруппы Н, anf- соответствующие кратности. Тогда для правой части равенства (6.18) имеем

E *•« =

J,v zEOjCiH

V Иен

Таким образом, установлено равенство тр = где тр = = (Indg(7TA): Tp), пр = (Тр\н: тг). Теорема доказана.

6.3. Примеры индуцированных представлений конечных групп. Реализуем некоторые изученные ранее представления конечных групп как индуцированные представления. 308

Глава 2,

Пример 1. Пусть G ~ УЦ. Выберем в качестве индуцирующей подгруппу D2 = (e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}. Все ее неприводимые представления эт., і = 1,2,3,4, одномерны и совпадают со своими характерами:

е (1,2)(3,4) (1,3)(2,4) (1,4)(2,3)
X5ri 1 1 1 1
X"2 1 1 -1 -1
Xjrs 1 -1 1 -1
X"4 1 -1 -1 1

Подгруппа D2 инвариантна. Поэтому индуцированные ею представления реализуются в пространстве функций на фактор-груп пе At/Dt ~ Сз = {е, (1,2,3)(1,3,2)}. Согласно утверждению 2 имеем dim(Ind?*(7Ti)) = 3.

Пусть Oi, і = 1,2,3,4, — классы сопряженных элементов группы A4 (см. пример 4 в §4). Класс O2 совпадает с множеством нетривиальных элементов подгруппы D2. Поэтому O2HD2=O2, OiDD2={e}, Oi П D2 = SS, і = 3,4. Индуцированные характеры легко вычисляются по формуле (6.17):
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed