Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Индуцирование согласно правой части формулы (6.10) называют индуцированием по стадиям.
6.2. Индуцированные представления конечных групп. В случае конечных групп конструкция индуцированных представлений становится особенно прозрачной. Основные утверждения этого пункта получены Г. Фробениусом в последнем десятилетии прошлого века.
Пусть G — конечная группа порядка N, H — ее подгруп-
N TT
па индекса v = ——тт, а 7г — конечномерное представление H
oi a H в пространстве Sjn.
Утверждение 2. Размерность представления Ind^(Tr) равна произведению размерности пространства Sj7r на индекс V подгруппы H.§6. Индуцированные представления 305
Доказательство. Пусть X1 = е и Xi, і = 2,3,... , v, — представители левых смежных классов относительно подгруппы Н. Рассмотрим линейное отображение р из пространства Ln(G,ff) функций на G со значениями в ff в прямую сумму v экземпляров пространства ff:
P- /-> {f (Xl)iI(Xi),... ,/(*„)} Є фйГ- (6-12)
г=1
Это отображение обратимо, поскольку для каждого gi є G найдется такое Xi, что g,- = Iixi; тогда значение функции / В точке gi вычисляется по формуле
f(gi) = *(h)f(zi).
Поскольку Lfj(G,ff) ~ Ф f)T, то AimLH(G,ff) = (dim*)*)*'
i=i
и утверждение доказано.
Соответствие (6.12) проясняет строение операторов индуцированного представления конечной группы. Если Xi и Xj — два представителя смежных классов, связанные соотношением
Xig = h(xig)xj, H(Xtg) = xtgxj1,
то
Tindg(.){g)f{xi) _ Tl°Hg)f(xi) = <h(xig))f(xj), (6.13)
где/ = V(X1), f(x2),... ,f(xv)} Є Формула (6.13) озна-
і
чает, что оператор Tlnd (g) в пространстве имеет блоч-
ную структуру
TInd(g) = «xigx J1)). (6.14)
При этом полагаем, что irixigxj1) = 0, если xigxj1 ?. Н.
Из формулы (6.14) следует формула для характера индуцированного представления Indg(Tr) конечной группы:
Xlnd(S) =Ex5r^J1)' (6-15)
Xj306 Глава 2,
где X* — характер представления іг подгруппы Н, продолженный нулями на всю группу G.
Бели положить г = hxi, h Є Н, то формулу (6.15) можно переписать в виде
xlnd^ = dftf ? xHrgr-1) (6.16)
г €G Tgr-1ZH
Приведем еще одно выражение для характеров индуцированных представлений. Пусть, как и раньше, Oi, Oi,... ,Ok — классы сопряженных элементов группы G, a Pj — количество элементов в классе Oj. Поскольку Oj — однородное пространство, то Oj = GfHj, где Hj — стабилизатор фиксированного элемента из Oj. Если hj = ordHj, то OrdGr = Pjhj. Тогда значение индуцированного характера на классе Oj представляется формулой
Xlnd(Oi) = ^y E *"(*>• (6-17)
zeOjHH
Эта формула легко следует из (6.16). Действительно, когда г пробегает всю группу G, то элемент rgyr-1, gj Є Oj, пробегает класс Oj и принимает каждое свое значение hj раз. Поэтому
YxHrgr-1) =hj E Xir(Z).
r€G zeOj
Но поскольку xv(z) отличаются от нуля лишь для z Є Н, то область изменения элемента z следует ограничить областью Oj П Н. Формула (6.17) доказана.
Теорема 1 (Теорема взаимности Фробениуса).
Пусть Ta и 7г — неприводимые представления конечной группы G и ее подгруппы H соответственно. Тогда кратность вхождения представления Ta в представление Ind^ (тг) равна кратности, с которой представление 7гА содержится в сужении на подгруппу H представления Ts:
(Ыя(т): Ta) = (Та\н- 5г)-§6. Индуцированные представления 307
Доказательство. Пусть ^lnd — характер индуцированного представления Indg (ет). В общем случае оно приводимо. Пусть xInd = Yl таХа-> гДе та — кратности неприводимых составляющих. Воспользовавшись формулой (6.17), имеем
3 3 a zeOjDH
Умножая обе части этого равенства на X0(Oj) и суммируя по j, находим
Xa(Oj)X0(Oj)
- = TSJHrExW E X-W.
^rria hj ОТ&Н
a,j J j zeOjHH
(6.18)
Приняв во внимание, что hj = ord G/pj и воспользовавшись соотношением ортогональности для характеров, вычислим левую часть соотношения (6.18):
E гпа^-ха (Oj)W(Pj) = тр. (6.19)
а,І 3
Пусть X01 н обозначает сужение характера х^ на подгруппу Н. Если сужение TqIя приводимо, то х0\н = где Хн —
неприводимые характеры подгруппы Н, anf- соответствующие кратности. Тогда для правой части равенства (6.18) имеем
E *•« =
J,v zEOjCiH
V Иен
Таким образом, установлено равенство тр = где тр = = (Indg(7TA): Tp), пр = (Тр\н: тг). Теорема доказана.
6.3. Примеры индуцированных представлений конечных групп. Реализуем некоторые изученные ранее представления конечных групп как индуцированные представления.308
Глава 2,
Пример 1. Пусть G ~ УЦ. Выберем в качестве индуцирующей подгруппу D2 = (e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}. Все ее неприводимые представления эт., і = 1,2,3,4, одномерны и совпадают со своими характерами:
е (1,2)(3,4) (1,3)(2,4) (1,4)(2,3)
X5ri 1 1 1 1
X"2 1 1 -1 -1
Xjrs 1 -1 1 -1
X"4 1 -1 -1 1
Подгруппа D2 инвариантна. Поэтому индуцированные ею представления реализуются в пространстве функций на фактор-груп пе At/Dt ~ Сз = {е, (1,2,3)(1,3,2)}. Согласно утверждению 2 имеем dim(Ind?*(7Ti)) = 3.
Пусть Oi, і = 1,2,3,4, — классы сопряженных элементов группы A4 (см. пример 4 в §4). Класс O2 совпадает с множеством нетривиальных элементов подгруппы D2. Поэтому O2HD2=O2, OiDD2={e}, Oi П D2 = SS, і = 3,4. Индуцированные характеры легко вычисляются по формуле (6.17):