Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
g=hasa(x) = h?S?(x),
чему соответствует равенство
F(hasa(x)) = тт (ha)fa(x) = r:(h?)J?(x) = F(h?s?(x)).
Отсюда следует условие «склейки» функций на пересечении карт
fa(x) = n(sa(x)s^(x))f?(x). (6.23)
Набор функций /а С С°° (Ua, Sjir), а Є Ш, и правило «склейки» (6.23) определяет глобальное сечение расслоения ?ж. Согласно изложенному выше, пространство гладких сечений расслоения Eir совпадает с пространством Cfj (GtSj7r) ~ ~ Cco(MiSf). Функции fa, а Є ЯК, будем называть локальными компонентами глобального сечения или его «локализациями». Операторы индуцированного представления Indg (я-) действуют на локальные компоненты fa по формуле
T™(g)fa(x) = тт (Sa(X)gSZ1(Xg))U(Xg). (6.24)
При этом предполагается, что Xg Є Ua. Очевидно, формула (6.24) — это по сути записанная в локальных координатах формула (6.9). 312
Глава 2,
6.5. Индуцированные представления группы
SL(2, С). Группа 51/(2, С) определена в п. 5.7 гл. 1 как универсальная накрывающая группы Лоренца 50(1,3):
5L(2,Q={g = =
Согласно утверждению 1 п. 5.7 гл. 1 произвольный элемент g Є 51/(2, Q однозначно представим в виде произведения: g= пак (разложение Ивасавы), где
-(і т). "=(rI)1 *=(_;;)
(6.25)
г=(|7|2 + |«|2)1/2» ги — (crf + ?S)r"2, U = Sr'1, V=-Jr'1.
Отсюда следует, что группа SL(2, С) как топологическое пространство гомеоморфна декартовому произведению С х М+ х х5?/(2), где С — аддитивная группа комплексных чисел, а Е+ — мультипликативная группа положительных чисел.
Перейдем к построению индуцированных представлений группы SL(2,C) согласно схеме, изложенной в предыдущем пункте. В качестве индуцирующей подгруппы возьмем подгруппу P верхних треугольных матриц:
P = jfc = ^q1 d = reia, b Є cj . (6.26)
Из разложения (6.25) следует разложение P = NAU(I) для подгруппы Р, где N — подгруппа верхних треугольных матриц с единицами на диагонали, А ~ К+ — подгруппа вещественных диагональных матриц с положительными диагональными элементами, а ?7(1) — подгруппа матриц diag(e_,w, е*ш), О ^ W < 2тг, в SU(2), коммутирующих с А. Однородное пространство M ~ P\SL(2, С) ~ ?/(1)\5?/(2) диффеоморфно сфере 52. Отождествляя точки на сфере с представителями левых смежных классов группы SU(2) относительно подгруппы U(I), мы определяем вложение сферы S2 в группу SU(2).
Полный атлас многообразия M ~ S2 состоит из двух карт: (Ui, m<pi) и (U2, Tntp2). Выбор окрестностей Uv и отображений Tntpі/: S2 -? M2, V = 1,2, зависит от вложения S2 С SU(2) и будет произведен ниже. \
§6. Индуцированные представления
313
Пусть матричный элемент 6 в g Є SL(2, С) отличен от нуля. Тогда имеет место разложение
С; 5)-(SOft1S)P- (6-27)
где d = 6, с = Z о
Применив К элементу Si(z) = — (zi)i z Є Q разложение Ивасавы, получим отображение
С > S2 С SU(2), задаваемое формулой
/
k(z,z)
\
(1 + Izl2)1/2 (1 + И2)1'2
Z 1
V(i+w2)1/2 (і + и2)1/2У
Z Є €.
Отображение rncpi определено в окрестности U1 = {к € S2 \ к ф ^ (і о ) } и ег0 естественно взять в качестве координатного отображения. Таким образом, комплексная переменная z локально параметризует сферу в окрестности U1 С S2, а отображение Tmp1 дает теоретико-групповое определение стереографической проекции (см. п. 5.5 гл. 1).
Разложение (6.27) определяет локальное сечение S1: U1 —> -»• SL{2, С) и элемент Ii1 (g) ? Р:
-«-С !)• mMV *)¦
Действие группы SL(2, С) на локальную координату z определяется формулой
га 4- 7
z? + o'
(6.28)
Если матричный элемент 7 в g ? SL(2, С) отличен от нуля, то справедливо разложение
(; =(П) (V :)(?-/)¦ <-» 314 Глава 2,
где d' = 7, d = Ц, $ = Применив к элементу s2(?) =
= (і ), ^ Є <C, разложение Ивасавы, получим отображение т -і
С->• Sr2 С SU(2), задаваемое формулой
. _-1
_ /1 . І*|2\1/2 /і ,
d+ Kl2)1'2 U+ Kl2)1'2 І (єС V (і+ Kl2)1'2 (i+ Kl2)1'2 /
Отображение т<р2 определено в окрестности U2 = {к Є S2 | к ф Ф (о і)} и является координатным отображением. Комплексная переменная ? локально параметризует сферу в окрестности U2 С S2. Действие группы SL(2, С) на переменную ? определяется формулой
(W)
Разложение (6.29) определяет локальное сечение s2: U2 -? 351,(2,Q и элемент h2(g) Є Р:
*«>=(? "/), «й- (V
Очевидно, на пересечении карт Ui и IT2 имеем ( = | и
ей«) = «1ЮЫ0Г1 = (J ^i). (6.31)
Индуцирующая подгруппа P является полупрямым произведением: P ~ N X A-U(I). Согласно результатам 7 этой главы каждое ЄЄ КОНеЧНОМерНОе НеПрИВОДИМОе Представление 7Г тривиально на подгруппе N и сводится к представлению абелевой подгруппы А • U(I) ~ М+ • U(I). Поэтому
*(hi(g)) = \6\хеітш, о, = arg S, (6.32)
где Л — произвольное комплексное число, am — целое число. \ §6. Индуцированные представления 315
Представление (6.32) определяет правило склейки функций /і и /г, принадлежащих пространствам C00(Ui) и C00(U2) соответственно. Согласно (6.23) и (6.32) имеем
Mz) = 7T(S12(Z))MO = Na (jfj) МО- (6.33)
Соотношение (6.33) накладывает существенные ограничения на поведение функций /i (f2) на бесконечности. Действительно, из (6.33) следует, что
