Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку I — т — целое положительное число, то гипергеометрический ряд в (5.27) обрывается и может быть выражен через многочлен Якоби Pna'^(z). Используя формулу
при т^п имеем
tl (о- (f)\\ — ( ^21-ш-п.ш-п \(l-m)l(l+m)l
tmn(gim - (-і) і {l_n)l{l+n)l
/ л\ / я\ nL<n
х (sin IJ (cos IJ p/_mm-"-m+n)(cos0).
Как и в (5.27), при т < п в правой части этой формулы следует заменить тип соответственно на —m и —п.
Используя соотношения для гипергеометрических функций и многочленов Якоби, выводим другие выражения для матричных элементов tlmn(gi(0)). Заметим, что
^ntftW) = Cigi(O)) = і
((,-ZbjwI'<5-28>
Заменив базис (5.13) базисом
fn(z) = i*V»(z), n = -Z,-/ + l,...,/, (5.29)
получим матричные элементы <fmn(gi(e)) операторов T^g1(O)), связанные с матричными элементами tlmn(gi(6)) формулой
В отличие OT tlmn(gi(6)) функции dlmn(gx(6)) вещественны. Их называют функциями Вигнера. Полный матричный элемент 282
Глава 2,
в базисе (5.29) имеет вид
<Ln(g) = л1тпыв)ё1(в)ез(ф)) = е-^+п^ёпп(ё1{в)).
(5.30)
Матричный элемент (5.30) инвариантен относительно правых сдвигов на элементы однопараметрической подгруппы {^з(а)} тогда и только тогда, когда I — целое число и 71 = 0: dlm0(gg3(a)) = dlrn0(g). Этот матричный элемент не зависит от ф (а потому является функцией на сфере S2 ~ 50(3)/50(2)) и имеет вид
dlo(g) = e-imv>d'm 0(gl(6)).
Эти матричные элементы обозначают через Yim(ip,e) и называют сферическими функциями на 52. Набор всех сферических функций Ijm, / = 0,1,2,...; т = —/, —/ + 1,... ,/, образует полную систему в пространстве L2 (S2) квадратично интегрируемых относительно инвариантной меры функций на сфере 52.
5.6. Регулярное представление группы 51/(2). Пусть L2(SU(2)) — гильбертово пространство квадратично интегрируемых относительно инвариантной меры
dg = (Ібтг2) -1 sin в de dip dip
функций на группе SU(2). (Инвариантная мера подобрана так, чтобы мера всей группы равнялась 1.) Операторы R(u)f(g) = = f(gu) задают правое регулярное представление группы SU(2) в L2(SU{2)). Найдем выражения для инфинитезимальных операторов Ai, A2, A3 регулярного представления, соответствующих однопараметрическим подгруппам gi(t), g2(t), g3(t) (см. п. 5.2).
Углы Эйлера элемента g обозначим через ip, в, ф, а элемента gg!(t) через <p(t),0(t),ip(t). Тогда
Aifte) =
df(ggi(t))
dt
t=o
^(0) + ^(0) + ^(0). (5.31) § 5. Представления группы SU(2) 283
Выразив матрицу g через углы Эйлера (р,в,ф и умножив ее на матрицу gi(t), находим
cos 6(t) = cos в cos t — sin в sin t cos ф, ei v{t) — jv (sin?^y1 (яіпв cost + cos в sin t cos ip + isinfsin^),
.[vW+^W] .V / „,^Ч"1
ib ib в t «У ¦ в ¦ t -if
COS 2 cos ^e 2 — sin — sin —e 2
Дифференцируя обе части этих равенств по і при ? = 0 и учитывая, что ^з(О) = (р, 0(0) = в, ф(0) = ф, имеем
sin ib
v?'(0) = -r-г, б'(О) = COS ф, ф'(0) = - ctg в sin ф.
Sint;
Подставив эти значения в (5.31), получаем
* = cos^I + №
Подобным образом выводим, что
A3 = (5.34)
Инфинитезимальные операторы Ai, A2, A3 совпадают с векторными полями на группе SU(2).
5.7. Операторы Лапласа. Используя соотношения (5.6), легко проверить, что элемент Казимира
С = A21 + Ai + Al
универсальной обертывающей алгебры il(su(2)) перестановочен с матрицами Ai, A2, A3, а потому и со всеми элементами 284 Глава 2,
алгебры Ли su(2). Следовательно, во всяком представлении T группы SU (2) соответствующий оператор Казимира
C = A21 + A^+A2
перестановочен с инфинитезимальными операторами AltA2, A3. А поскольку однопараметрические подгруппы gi(t), g2{t), g3(t), касательные матрицы к которым совпадают с A1, A2, Аз, порождают всю группу SU(2), то оператор С перестановочен со всеми операторами T(g), g Є SU(2).
Оператор С для регулярного представления группы SU(2) называют оператором Лапласа на SU(2) и обозначают через А. Используя выражения (5.32)-(5.34) для операторов A1, A2, Аз в регулярном представлении, находим, что
д=
W+ ctgeI+ -&Ї O? + ¦
(5.35)
Рассматривая подпространство функций из L2[SU{2)), не зависящих от угла ф, получим пространство функций f(<p, 0) из L2[S2). Оператор (5.35) превращается на них в оператор Лапласа A0 на сфере S2:
л° = 5+ct*eii + -A^A- (5-36)
дв2 об gin2 в дір2
Используя связь (5.14) между операторами A1, A2, A3 и Н+, H-, H3, выводим, что
С = —Н+Н— — H-H+ —
Теперь с помощью формул (5.16)-(5.18) вычисляем, что в неприводимом представлении Tj оператор Казимира кратен единичному:
С = A21+ A2 +A2z = -1(1 + 1)/. (5.37)
Матричные элементы tlmn(g) неприводимых представлений Tt группы SU(2) образуют базис пространства L2(SU(2)), § 5. Представления группы SU(2)
285
причем на элементы tlmn(g) при фиксированных I и m натягивается инвариантное подпространство, на котором операторы R(u), и Є 517(2), правого регулярного представления реализуют неприводимое представление, эквивалентное Tj. Отсюда и из (5.37) получаем, что
Кроме того, матричные элементы tlmn(g) являются собственными функциями операторов и щ соответственно с собственными значениями тип. Разложение функций / Є L2(SU(2)) в ряд по матричным элементам tlmn(g) (см. п. 3.2) является разложением по собственным функциям операторов Д, -щ. Аналогично, разложение функций / Є L2(S2) в ряд по сферическим функциям Fjm является разложением по собственным функциям операторов До и
