Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
ан = PqQgOhq-1 = PqCth = ~ Oh-
Следовательно, Ojl = О и a = 7e(Ea), где 7 Є С. Согласно (4.31) имеем
ре (Ea)2 q = aqe (Ea)2 .
Поэтому по доказанному выше e(Ea)2 = 7е(Еа).
Для полного доказательства утверждения нужно показать, что идеал Ia = Ae (Ea) минимальнен. Для этого покажем, что е(Еа)1а С Ce(Ea). Действительно, если b є e(Ea)Ja, то b = e(Ea)ae(Ea), ае А, и
pbq = ре (Ea) ае (Ea) q = crqe (Ea) ае (Ea) = aqb.
Поэтому, согласно доказанному выше, b = je (Ea) и є (Ea) Ia С С Ce(Ea). Пусть Ia содержит в себе левый идеал I. Тогда е (Ea) I = {0} или e(Ea)/ = Ce(Ea). В первом случае P = II С IaI = Ae (Ea) I = {0}. Но тогда I = {0}. Действительно, если а Є І, то о*о Є P = {0}, где о* — элемент, сопряженный к о (см. п. 4.6). Из вида элементов алгебры А и определения сопряженности вытекает, что а*а ~ 0 тогда и только тогда, когда о = 0. Следовательно, условие P = {0} влечет I = (0). В другом случае, Ia = Ae (Ea) = ACe(Ea) - Ae (Ea) I С I, то есть Ia = I. 270
Глава 2,
Покажем, что 7 ф 0 в (4.33). Поскольку элементы подгрупп Pa и Qa перестановочны, то е(Еа)* = є(Е0). Поэтому
е(Еа)2=е (Еа)е(Еа) V0.
Утверждение доказано.
Можно показать, что 7 = р[. Пусть а и ? — два разных разбиения числа тп: тп = mi + ... + тпк, тп = тії + • • • + пт-Покажем, что тогда
е (Еа)е (E0)=O (4.35)
для всех диаграмм Юнга E0 и E0. Для этого заметим, что должны существовать числа s и t, находящиеся в одной строке диаграммы E0 и в одном столбце диаграммы E0 (иначе, как можно показать, fc = г,mi = ni,m2 = n2,-..). Пусть g — перестановка элементов s и {. Тогда ag = —l,g Є P?,g Є Qa и вследствие (4.31) имеем
Є(ЕО)Є(Е0) = e(Eo)gg-e(E0) = -C(Eo)e(E0). (4.36)
Это доказывает равенство (4.35).
Как отмечалось в п. 4.6, при фиксированном разбиении а числа тп преобразования Та(Ь)а = Ьа задают представление алгебры А и группы Sm в левом идеале Ia = Ae(E0). Поскольку эти идеалы минимальны, то представления T0 неприводимы.
Утверждение 8. Для разных разбиений а и ? представления Ta и T0 неэквивалентны.
Доказательство. Заметим, что fa<p? = 0 при а ф ? (доказательство такое же, как и в случае равенства (4.36)). Поэтому /оАе(Е0) = faAf?<p? С faA(p? = {0}. Следовательно,
fab = UAe(Z0) = {0}, аф ?. (4.37) При а = ? имеем
IaIa Ф {0}, (4.38) поскольку fae(E0) = Є(Е0) ф 0 (см. формулу (4.31)). §5. Представления группы SU(2) 271
Предположим, что представления Ta и T? эквивалентны. Тогда существует взаимно однозначное отображение U: Ia I?, такое что Та(а) = U~1T?(a)U для всех a G А. Например, Ta(fa) = U~1T?(fa)U. Но это невозможно, поскольку вследствие (4.37) и (4.38)
Ta(U)Ia = faIa ф {0}, U-1T0(U)UIa = U-1Tp(Za)I0 = U-1UIp = {0}.
Утверждение доказано.
Таким образом, для каждого разбиения а числа m мы построили неприводимое представление Ta группы Sm. Поскольку эти представления неэквивалентны и разбиения нумеруют классы сопряженных элементов в Sm., то это полная система неприводимых неэквивалентных представлений группы Sm.
Можно показать, что для А справедливо разложение
і = ффіе(Еа). (4.39)
a E0
Поэтому неприводимое представление Ta встречается в разложении регулярного представления столько раз, сколько слагаемых Ae(Ea) с заданным а встречается в разложении (4.39). Это число Ia задается формулой (4.30). Поэтому dim Ta = Ia.
§ 5. Представления группы SU(2)
В этом параграфе на примере группы SU(2) иллюстрируются общие утверждения теории представлений компактных групп, изложенные в предыдущих параграфах. Несмотря на казалось бы частность выбранного примера, теория представлений этой группы довольно содержательна и имеет множество приложений. Являясь универсальной накрывающей группы вращений трехмерного пространства, группа SU(2) играет важную роль в исследовании квантовых систем, обладающих вращательной симметрией. Теория матричных элементов неприводимых представлений группы SU(2) демонстрирует возможности групповых методов в теории специальных функций. Замечательным объектом математической физики и комбинаторики являются коэффициенты Клебша- Гордона и Рака, 272
Глава 2,
возникающие при разложении на неприводимые составляющие тензорных произведений неприводимых представлений.
5.1. Неприводимые представления группы 517(2).
Комплексификацией группы Sl7(2) является группа SL(2, С). Согласно п. 2.3 каждое неприводимое голоморфное представление комплексной группы остается неприводимым при сужении на вещественную форму. В этом пункте будут построены неприводимые голоморфные представления группы SL(2, С) в пространствах многочленов от одной комплексной переменной г — локальной координаты проективного пространства CP1. Сужая эти представления на вещественную подгруппы SU(2), получаем все неприводимые представления последней.
Матрицы g= в) С GL(2,С) действуют в пространстве C2 как линейные преобразования
g¦ (zi,Z2) ->¦ (Z1,z2) ^ = (Otz1 +yz2,?z1+Sz2).
Используем это действие для построения неприводимых представлений группы GL(2, С).
Пусть I — целое или полуцелое неотрицательное число. Обозначим через Sji линейное пространство однородных многочленов двух комплексных переменных
