Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(Ль(и))° = U11, (A6(U))ii = 6ij + UiUj(Vi) + I)-1, i,j = 1,2,3.
Очевидно, ЧТО Uq-U2-U2-U3 = 1, а вектор ти = P = = (Р(ьРі>Р2)Рз), который мы понимаем как вектор-строку, лежит на гиперболоиде Н+т. Матрица A6(u) является представителем класса смежности в группе 50+(1,3) по подгруппе 50(3).
Пусть (а,Л) Є Р++(1,3). Применяя разложение (6.67) к произведению элементов (0, Afc(u)) и (а, Л), получаем
(О, A6(U)) (a, A) = (A6(U)HfA6(U)A)) =
= (Ль(и)и, г(г, Л))(0, Л6(иЛ)),
где
r(u, A) = A6(U)AA-1 (иЛ) є 50(3). (6.68)
Преобразование r(u,A) называется вигнеровским вращением.
Пусть L2(H+1,Sje) обозначает пространство квадратично интегрируемых функций на гиперболоиде Н+1, принимающих значения в пространстве Sj8. Если ф Є L2(H+1,#„), то
IIVH2= I (ф(и),ф(и))Ми) <оо,
Н+1 \ §6. Индуцированные представления 337
где (•,•)« — скалярное произведение в пространстве Sjs, a d/n(u) — инвариантная мера на H+i. Операторы представления (7rfm's)) в пространстве L2(H+обозначаем через Т'т,в,+1'(а,Л). Тогда
Tfm's'+1](a,A)V(u) = eim(A'(u»>"TJ,(r(u,A))V(uA), (6.69)
где т > 0. Если учесть, что (Ль(и))° = Utl, то т(Ль(и))° а*1 = = PflOt1, где ро ^ т > 0. Тогда вместо формулы (6.69) можно записать формулу действия операторов представления Т1!"1.«^] в гильбертовом пространстве L2(H±m,Sjs):
ТІт'*'?](а, АЩр) = е'"(Р'а)Т8(Ль(р)ЛЛ-1(рЛ))^(рЛ), (6.70)
где запись рЛ означает действие матрицы Л на вектор-строку {р(1} справа. Очевидно, что при є = 1 формула (6.70) эквивалентна (6.69). (Параметр є = ±1 указывает, на какой из двух орбит Н±т определено представление (6.70).)
В физических приложениях пространство L2(H+m,$js)© (BL2(H-m,$)s) интерпретируется как пространство состояний «элементарной» физической системы (элементарной частицы). В таком пространстве действует неприводимое представление полной группы Пуанкаре; при этом оператор временного отражения реализован антиунитарным оператором, параметр т характеризует массу частицы, as — ее спин [60].
Случай 2: представления, связанные с орбитами К±. Эти представления индуцируются подгруппой Е(2) — стационарной подгруппой точки (1,0,0,1) Є К+, а также точки (—1, 0, 0, —1) Є K-. В этом легко убедиться, переходя от группы Лоренца к ее спинорной накрывающей SL(2,С). При этом преобразованиям Xtl Л?х" соответствуют преобразования эрмитовой матрицы
г x0 + x3 жі+ ix2 і xi — гх2 x0 - x3
'Ua(*o + x3 *1+гхЛ , a?SL(2,Q.
J VkXi -гх2 X0- X3 J v
Неприводимые унитарные представления группы Е(2) описаны в [11]. Они бывают двух типов: бесконечномерные представления, параметризуемые положительным числом р, 338
Глава 2,
и дискретное семейство представлений, тривиальных на подгруппе двумерных трансляций. Очевидно, во втором случае представления группы Е(2) сводятся к представлениям ее подгруппы SO(2), которые одномерны и задаются формулой etv —> etrup, п є Z. В соответствии с этим, имеем четыре класса неприводимых унитарных представлений группы Р++(1,3), которые обозначим у[°,р,±11 и 7^0'"^1! соответственно.
Представления т'°'р,±11, по-видимому, не имеют содержательных приложений. Представления J1I0^ilI действуют в пространстве состояний элементарных частиц нулевой массы. Параметр ті в этом случае имеет смысл спиральности безмассовой частицы.
Случай 3: представления, связанные с гиперболоидом ГЛ. Эти представления индуцируются подгруппой N х 50+(1,2). Спинорная накрывающая группы 50+(1,2) изоморфна группе 5L(2, М) и ее неприводимые унитарные представления описаны в п. 6.6. Среди них — представления основной унитарной и дополнительной серий, а также представления дискретных серий. Все эти представления бесконечномерны. Соответствующие классы индуцированных ими представлений группы Пуанкаре не нашли пока прямых физических приложений, хотя делаются попытки использовать их для описания нестабильных частиц и тахионов.
Случай 4: представления, связанные с точкой р = 0. В этом случае представления группы Пуанкаре сводятся к представлениям группы Лоренца. Неприводимые представления ее спинорной накрывающей описаны в п. 6.5.
§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы
7.1. Полупростые и нильпотентные преобразования. Пусть L(Sj) — линейное пространство всех линейных преобразований конечномерного комплексного пространства Sj размерности п. Выбирая базис в Sj, преобразования А Є L(Sj) представляем квадратными матрицами. Преобразование А называют полупростым, если каждое инвариантное относительно А подпространство в Sj имеет инвариантное § 7. Разрешимые и нильпотентные группы
339
дополнение. Из линейной алгебры известно, что каждое преобразование из L(Sj) имеет собственный вектор. Поэтому А имеет одномерное инвариантное подпространство Cei- Тогда Sj = Cej © йі, где iji — инвариантное подпространство для А. Продолжая такое разложение далее, приходим к выводу, что если А — полупростое преобразование, то в Sj существует такой базис, в котором А представляется диагональной матрицей, причем часть диагональных элементов может равняться нулю.
Из линейной алгебры также известно, что произвольное преобразование В Є L(Sj) в некотором базисе ei, ..., еп задается блочной матрицей
