Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что группой Пуанкаре Р( 1,3) называют группу неоднородных преобразований пространства Минковского Мі(з вида
X —> Лх + а,
где Л = (A(J) — матрица преобразования из подгруппы Лоренца, а а = (а**) — вектор трансляций пространства\ §6. Индуцированные представления 333
(Здесь и далее индексы /іиі/ принимают значения, 0,1,2,3.) Элементами группы Р(1,3) являются пары (а, Л), а групповое умножение осуществляется по правилу
(аь A1Xa2, A2) = (ах + A1B2, A1A2). (6.60)
Отсюда следует, что группа Р(1,3) является полупрямым произведением группы четырехмерных трансляций (инвариантная подгруппа, которую обозначаем через N) и группы Лоренца 0(1,3): P(l,3) = Nx 0(1,3). Четыре связных компоненты группы Р( 1,3) соответствуют структуре группы 0(1,3). Ограничимся рассмотрением одной из них, а именно подгруппой P++(l,3) = Nx 50+(1,3), где 50+(1,3) — ортохронная группа Лоренца, для которой det А = 1 и Aq ^ 1.
Пусть T — унитарное представление группы F++ (1,3) в гильбертовом пространстве Sj. Сужение этого представления на коммутативную подгруппу N приводимо и раскладывается в непрерывную прямую сумму (интеграл) представлений, кратных неприводимым. Пространство Sj в этом случае отождествляется с прямым интегралом гильбертовых пространств Sjp,
Sj-J Sjpdp(p), р є TV, (6.61)
N
в каждом из которых реализуется унитарное представление Tp подгруппы N, кратное неприводимому (одномерному) представлению. Множество N является дуальным к группе N пространством ее неприводимых унитарных представлений. Если а Є N, то
Тр(а) = е«р'а>, (р,а)=Ptla», р Є N.
(Как обычно, во второй формуле подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.) Элементами пространства (6.61) являются вектор-функции на N со значениями в Sjp, такие что
j \\f\\2pd?{p) < оо,
где К/Ир — норма в пространстве Представление пространства Sj в виде прямого интеграла (6.61) означает спек-334
Глава 2,
тральное разложение для операторов Т(а), а Є N:
Т( a) = J ei(p'a> dE{p), (6.62)
N
где dE(р) — спектральная мера, определяемая семейством проекторов (l?(f2)}, заданных на борелевских подмножествах f2 С N (см. [4]).
Множество N неприводимых унитарных представлений абелевой группы N обладает структурой группы, изоморфной группе N [48], то есть N — гладкое многообразие и N ~ Mi ,з- Соотношения гомоморфизма и групповая операция (6.60) определяет действие группы Лоренца на многообразии N. Действительно,
T(A)T(a)T(A_1) = J е''(р-Ла) <Ш( р) = J ei(p'a) dE( рЛ-1),
N N
(6.63)
где (рЛ-1),, = Рд(Л-1)?. С другой стороны, непосредственно вычисляя правую часть в (6.63), получим
Т(Л)Т(а)Т(Л~1) = J ei(p'a) d(T(A)F(p)T(A-1)). (6.64)
Сравнивая формулы (6.63) и (6.64), находим
T(A)E{U)T(A~1) = EiSlA-1). (6.65)
Очевидно, действие группы N на множестве N тривиально.
Из формулы (6.65) следует, в частности, что спектральная мера сосредоточена на инвариантном относительно группы 50+(1,3) подмножестве в N. Носитель меры дискретен лишь тогда, когда он сосредоточен в точке р = 0. Отсюда следует, что неприводимые унитарные конечномерные представления группы Пуанкаре тривиальны на подгруппе трансляций.\ §6. Индуцированные представления 335
Действие группы 50+(1,3) на множестве N расслаивает его на орбиты. Поскольку N ~ Мі,з, то все орбиты в N фактически описаны в п. 5.7 гл. 1:
— верхняя и нижняя полости двухполостных гиперболоидов
н±т = {peN\РІ-РІ-РІ-РІ= т2, ±ро ^ 0} ~ ~50(3)\50+(1,3);
— верхний и нижний конус
к± = {р Є TV IP20 - P2 - P2 - P2 = 0, ±ро > 0} ~ ?(2)\SO(l,3);
— однополостные гиперболоиды
гк = (P є TV |pg -P2 -P2 -P2 = -к2} ~ 50(1,2)\50(1,3);
— изолированная точка р = {0}.
Реализуем неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре Р++(1,3) как индуцированные представления в пространствах вектор-функций на перечисленных выше орбитах.
Случай 1: представления, связанные с орбитами Н±т. Эти представления индуцируются подгруппой N х SO(S) ~ ~ N0 ® E(S), где E(S) ~ ISO(S) — группа евклидовых движений трехмерного пространства, ЛГ0 — подгруппа одномерных трансляций вдоль оси ж0. Все неприводимые унитарные конечномерные представления группы ISO(S) тривиальны на подгруппе трансляций и сводятся к представлениям подгруппы SO(S) (см. пример 9 в § 1). Поэтому если (а, г) Є jVx50(3), а Є N, г є SO(S), то неприводимые унитарные представления группы N X SO(S) имеют вид
Trfm-sI (a, r) = eima°Ts(r), (6.66)
где Ts — неприводимое унитарное представление группы SO(S) в пространстве Sjs (s — целое или полуцелое неотрицательное число), am — произвольное вещественное число, определяющее представление подгруппы N0.336 Глава 2,
Перейдем к построению представления ).
Для этого элемент Л Є 50+(1,3) представим в виде произведения
Л = гА6( и), (6.67)
где г є 50(3), а Л^(и) — чисто лоренцево преобразование («буст»), параметризованное компонентами четырех-вектора скорости
1 • і а о 2 2 , 2 . 2
U0= -щ= -=, г = 1,2,3, V =V1 +V2 +V3.
Vl — V2 Vl — tr
(В этом определении мы полагаем скорость света с равной 1). При такой параметризации элементы матрицы A6(u) имеют вид