Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
В случае многообразий (в частности, групп Ли) имеет место и обратное утверждение, то есть в этом случае понятия связности и линейной связности совпадают. В общем случае это не так.
Утверждение 2. Связная компонента Go единицы топологической группы G — инвариантная подгруппа.
Доказательство. Если G0 — связная компонента единицы, то для произвольного а Є G0 множество a" 1Go связно 56
Глава 1
и содержит единицу. То есть a_1Go С G0 или a-1fc є G0 для произвольных а и 6 из G0. Таким образом, G0 — подгруппа. Поскольку правое и левое умножения являются непрерывными отображениями, то для произвольного g Є G множество gGog-1 связно и содержит единицу. Поэтому gGog~x С Go-Утверждение доказано.
Поскольку связная компонента единицы Go является инвариантной подгруппой топологической группы, то можно рассмотреть фактор-группу GfGo- Элементами этой группы являются правые смежные классы G,- = giG0, которые в то же время являются связными компонентами группы G. Каждая связная компонента имеет такой вид. Отсюда следует, что фактор-группа является вполне несвязной группой.
4.4. Фундаментальная группа и накрытия. Если группа G связна, то ее дальнейшая топологическая структура (а также структура связных компонент несвязной группы) описывается фундаментальной группой, или, как ее еще называют, первой гомотопической группой соответствующего топологического пространства. Элементами фундаментальной группы являются классы эквивалентных (гомотопных) замкнутых путей, начинающихся и заканчивающихся в фиксированной точке топологического пространства. Два пути в топологическом пространстве X называют эквивалентными (гомотопными), если они имеют общие концы и один из путей можно непрерывно деформировать в другой так, что во время деформации концы остаются неподвижными. Под деформацией пути ip: I —> X мы понимаем семью отображений tpt интервала I в топологическое пространство X, непрерывно зависящую от і Є [0,1] и такую, что при J = O отображение tpo I > X совпадает с путем ip, а отображение (р^: І —ї X является деформированным путем. Для всех путей <pt имеем ifit(O) = <р(0) и <pt( 1) = <р(1). Определенное таким образом соотношение гомотопической эквивалентности разбивает множество путей на гомотопные классы. Гомотопический класс, содержащий путь ip, обозначаем через [ір]. Если ip и <р' — эквивалентные пути, то [іpj = [ip'].
Пусть конец пути ipi является началом пути у>2- Тогда для таких путей можно определить их произведение как § 4. Топологические группы
57
путь, проходящий от начала первого пути к концу второго пути. Пусть ipi задается функцией gi(t) со значениями в пространстве X, а путь ip2 — функцией g2(t), t Є [0,1], и пусть Si(I) = ёг(0). Тогда путь ip3 = Ip1 о <р2 задается функцией
{й(2t) при 0 ^ t^ g2(2t - 1) при
Обратным элементом к пути (р является путь, задаваемый функцией g^l — t), то есть путь, проходящий в противоположном направлении.
Определив закон умножения путей (р, получаем закон умножения соответствующих гомотопических классов [у]:
[фі][чь] = fai о <р2] = Ы- (4-1)
Пусть Xq — некоторая точка в X. Легко видеть, что множество классов замкнутых путей, начинающихся и заканчивающихся в точке жо, образует группу относительно операции (4.1). Эту группу называют фундаментальной или первой гомотопической группой (а иногда группой Пуанкаре) пространства X в точке хо и обозначают через 7Гі(Х, ж0). Единицей этой группы служит класс путей, стягивающихся непрерывными деформациями в точку ж0-
Группа Пі(Х,Хо) явно зависит от выбора точки ж() Є X. Если уо — другая точка пространства X, которую можно связать с точкой ж о непрерывным путем tp (точки ж о и уо принадлежат к одной и той же компоненте линейной связности пространства X), то очевидно, что группы 7Гі(Х, X0) и W1 (X, уо) изоморфны, причем изоморфизм задается формулой
TTi(X5Z0) = [tp]~ 1TTxiX, у0)[(р].
При изучении топологических групп естественно рассматривать группу 7Гі (Go, е), которая является топологическим инвариантом связной компоненты единицы группы G. Очевидно, что фундаментальные группы всех других компонент группы G изоморфны к 7Гі (G0,e). Учитывая этот факт и упрощая обозначения, будем писать TTi(G) вместо TTi(G0,e). 58
Глава 1
Если группа IT1 (G) содержит только один элемент, то есть все замкнутые пути, лежащие в линейно связной компоненте Go, непрерывными деформациями стягиваются в точку е, то топологическую группу G называют односвязной. Из приведенных выше определений вытекает, что односвязные топологические группы не обязательно связны.
Пример 4. Аддитивная группа К вещественных чисел с примера 2 связна и односвязна.
Пример 5. Мультипликативная группа Ко всех вещественных чисел, кроме нуля, наделенная топологией числовой прямой, является топологической группой. Она односвязна, но не связна. Эта группа состоит из двух связных компонент R+ (подгруппы положительных чисел) и R_ (множества отрицательных чисел).
Пример 6. Группа R/Z с примера 2 изоморфна группе 17(1) комплексных чисел 2, таких что |z| = 1. Функция f(x) = ехр 2тх осуществляет гомоморфизм топологической группы R на группу 17(1), задавая в последней топологию. Топологическая группа U(I) связна, но не односвязна. Ее фундаментальная группа тгі(І7(1)) изоморфна группе целых чисел.
