Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
A3 - A2 Trg-+ А(шц + m22 + m33) - detg = О,
где тпц — алгебраические дополнения к элементам ga- Поскольку g~l = ^r, то тпц = gu det g. Поэтому характеристическое уравнение сводится к уравнению
(А-1)(А2-A(TVg-I)+ 1) = 0.
Следовательно, оно всегда имеет решение A = I. Два других решения имеют вид
Ali2 = |(Trgr- 1) ± і [l - Q(TVg - I))'] 2 ,
и при Trg ф З, —1 они комплексны. Ясно, что Ai = A2 и I А? I = 1, причем Ai = expia, где cos a = |(Trg— 1). Легко видеть, что —1 ^ Trg ^ 3. Случай Trg = 3 возможен только для единичной матрицы, а Trg = —1, если g— диагональная матрица со значениями 1, —1, —1 на диагонали.
Собственному значению A = I соответствует вещественный собственный вектор vi Є E3. Выберем координаты х[, х'2, X3 в пространстве E3 так, чтобы направление оси Ox13 совпадало с вектором Vi и чтобы комплексные координаты ? = х'г + іх2 и ( = х[ — Ix2 в перпендикулярной плоскости соответствовали собственным векторам Va1 и В этих координатах преобразование g диагонализируется и принимает вид g* = diag(eia,e-la,l). В вещественных координатах X1liX12yX3 преобразование g представляется матрицей
(cos а — sin а 0\
sina cosa О І Є SO(2).
О 0 Ij
Это значит, что преобразование g является вращением вокруг оси 1, совпадающей с направлением вектора Vi. Теорема доказана. 68
Глава 1
В доказательстве теоремы начальные координаты X= (х\,х2,х3) связаны с координатами х' = (X11jX12jX13) ортогональным преобразованием х' = gix. Поэтому g— gi1rz(a)g±, и теорему Эйлера можно сформулировать так. Любое преобразование g Є 50(3) подобно к вращению вокруг оси Ox3, причем преобразование подобия переводит ось Ox3 в ось 1.
5.4. Конечные подгруппы группы SO(3). Конечные подгруппы группы вращений играют важную роль в атомной физике, кристаллографии и теории твердого тела. Их классификация дается такой теоремой.
Теорема 2. Полный список конечных подгрупп группы вращений 50(3) состоит из пяти типов групп и с точностью до сопряжения исчерпывается группами Cn, D1n, га = 2, 3,4,... , Т, К, Y, где Cn — циклическая группа вращений вокруг некоторой оси 1 на углы 2ттт/п, т = 0,1,... ,га — 1, D1n — группа тех же вращений, дополненная вращениями на угол 7г вокруг п осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к оси 1, и образующих одна с другой угол 7г/га, и Т, К, Y — группами симметрий соответственно тетраэдра, куба (октаэдра) и икосаэдра (додекаэдра).
За доказательством этой теоремы отсылаем читателя к книге [13]. Заметим, что в ее доказательстве существенно используется теорема Эйлера.
5.5. Универсальное накрытие группы SO(3) группой SU(2). Напомним, что комплексная га х га-матрица и называется унитарной, если и*и = In, где звездочка обозначает эрмитово сопряжение. Очевидно, что |detu| = 1.
Группу унитарных комплексных га х га-матриц обозначают через С/(га). Множество матриц и Є U(га), для которых det и = 1, образует подгруппу в U(га), обозначаемую через SU (га).
Группа SU(2) состоит из матриц § 5. Группы пространственных симметрий 69
Положив а = c*i + ia2, /3 = /? + i?2, для вещественных параметров 01,02,/?,/? имеем соотношение
a\ + a2+?\+?2 = 1.
Это значит, что групповое многообразие топологической группы SU(2) гомеоморфно сфере S3 и поэтому связно и односвяз-
HO.
Группа SU(2) естественным образом действует в пространстве (С2 двух комплексных переменных ZI и Z2:
(zi, Z2) (zi, z2) I _ j = (azi - ?z2, ?zi + az2) (5.4)
Поскольку точки (zi,z2) и (Azi,Az2) нельзя связать преобразованием (5.4), то пространство (С2 не является однородным относительно действия группы SU(2). Однородным будет проективное пространство CP1, элементами которого являются комплексные прямые (AzijAz2), А Є С, проходящие через начало координат.
Локальной координатой пространства CP1 в окрестности точки (OjZ2)ECP1 является комплексный параметр ? = Zi/Z2, а в окрестности точки (zi,0) Є CP1 — параметр ? = z2jzi. Левое действие группы SU(2) на пространстве CP1 в терминах локальной координаты ? Є С задается дробно-линейным преобразованием
-?? + a \-? aJ
Можно определить также правое действие
= ItI' (5-6)
Пространство CP1 компактно и гомеоморфно двумерной сфере S2. Фиксируем радиус сферы, положив R = Тогда стереографическая проекция (см. рис. 6) связывает коорди- 70 Глава 1
Рис. 6.
наты точки на сфере S2 с параметром ? Є С:
2-Жз
4"
Дробно-линейные преобразования комплексного параметра ? индуцируют преобразования точек на сфере, а следовательно, и ортогональные преобразования пространства E3, в которое вложена сфера S2. Декартовые координаты
Xi = R sin 0 cos t?, X2 =R sin в sin tp, x3 =R cos 0,
(l?l2 -i) (Kl2 + 1)
тональной матрицей
где cos 6 = ——, ip = arg?, преобразуются линейно орто-
g{u) =
(\ (a2+a2-?2~?2) i(a2-a?+?2-ff) -a?+a? \
\{?2-?2-o?+a2) \(a2+a2+?2+?2) і(a?-a?)
a?+a? i(a?—a?) aa-?? )
(5.7) § 5. Группы пространственных симметрий 71
Отображение р: и —t g(u) Є SO(3), задаваемое формулой (5.7), является гомоморфизмом накрытия. Прообраз любой матрицы g Є S0(3) состоит из двух унитарных матриц, отличающихся знаком: p~1(g) = ±ы, то есть ядро гомоморфизма р содержит два элемента: е и —е, образующие центр группы SU(2). Поскольку топологически SU(2) ~ S3 и топологическое пространство S3 односвязно, то отображение р: SU(2) —» SO(3) является универсальным накрытием.
