Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Понятие накрытия и накрывающего пространства играет важную роль в различных направлениях математики. Рима-нова поверхность многозначной аналитической функции, на которой функция становится однозначной, — пример накрывающего пространства для области аналитичности функции, дополненной полюсами и точками ветвления конечного порядка. В теории топологических групп, в частности в теории групп Ли, понятие о накрытии используется для классификации локально-изоморфных групп, а также для построения универсальной накрывающей группы.
Топологическое пространство X называют накрывающим для пространства X, если вместе с X определено непрерывное отображение р: X —» X, такое что для каждой точки х Є X существует ее окрестность U, полный прообраз P^1(U) С X которой распадается на конечное или бесконечное семейство открытых подмножеств пространства X, которые попарно не пересекаются и каждое из которых гомеоморфно при отображении р окрестности U. Отображение р называют накрывающим отображением или накрытием. Количество компонент § 4. Топологические группы
59
в множестве р 1(f/) называют числом листов или кратностью накрытия, а пространство X — базой накрытия.
С помощью накрывающего отображения р можно осуществлять поднятие путей из пространства X в X; пути tp: I —> X, начинающемся в точке X0, сопоставляется единственный путь ip: I —X, начинающийся в точке X0, где р(х0) = хо- Будем считать, что пространства X и X линейно связны. Поднятие путей позволяет сопоставлять фундаментальные группы tti(X,xq) и ігі(Х,хо) накрывающего пространства X и базы X. Справедливо такое утверждение.
Теорема 1. Накрывающее отображение р: X X индуцирует изоморфизм р» группы 7Гі(Х,жо) на некоторую подгруппу рі(Х,р(хо)) группы 7Гі(Х,хо). При этом изоморфизме образы групп TVi(XjXi), p(xi) = Xq, принадлежат к одному классу сопряженных подгрупп в кі(Х, х0).
Доказательство (набросок). Пусть (р — замкнутый путь в X, проходящий через точку Xo- Его образ роф является замкнутым путем в X, проходящим через точку хо = р(хо)-В частности, образом пути, гомотопического нулевому, является нулевой путь в X. Поэтому
р*жі(Х, X0) =pi(X,р(х0)) (4.2)
— подгруппа в tti(X,жо). Пусть X0 к xi — две точки линейно связного пространства X, такие что р(х0) = р(хi) = х0. Их можно связать путем 7, начинающимся в х0 и заканчивающимся в Xi- Образ пути 7 при отображении р является замкнутым путем в X, то есть соответствующий гомотопический класс принадлежит группе 7Гі(Х,х0). Поэтому подгруппы (4.2) и
p*iri(X,xi) = рі(Х,р(х\))
сопряжены:
pi(x,p(x0)) = (PO7)-1Pi(X5P(Ki))(Po7). Теорема доказана. 60
Глава 1
Задача 1. Покажите, что кратность накрытия р равна индексу подгруппы pi(X, р(х0)) в группе jri(X, жо)-
Если группа 7Гі (X, Xq) содержит только один элемент, то пространство X односвязно и накрытие р: X —> X называют универсальным.
В случае топологических групп топологическое пространство G, накрывающее линейно связную группу G, само является топологической группой. В этом случае говорят о накрытии одной топологической группы другой.
Теорема 2. Пусть р — накрывающее отображение линейно связного топологического пространства G на линейно связную топологическую группу G. Тогда в пространстве G можно так ввести закон умножения, что G становится топологической группой, а отображение р — гомоморфизмом группы G на группу G.
Доказательство этой теоремы можно найти в [48].
Если накрытие р из теоремы 2 универсально, то группу G называют универсальной накрывающей для G.
Пример 7. Отображение р: R —» 17(1), где р(а:) = exp 2nix, является накрывающим отображением односвязной топологической группы R на многосвязную топологическую группу 17(1).
Пример 8. Отображение p(z) = z" является n-кратным накрытием мультипликативной группы Со комплексных чисел без нуля.
Пример 9. Если G — топологическая группа, a D — ее дискретная инвариантная подгруппа, то гомоморфизм G —> G/D является накрывающим отображением.
Пример 10. Пространство R" — топологическая группа относительно сложения векторов. Пусть D — решетка в R", порожденная единичными ортами еі,ег,... ,е„. Тогда D — инвариантная подгруппа в R" и
Rn/D ~ S1 X ... X S1 = Tn
— n-мерный тор, совпадающий с прямым произведением абелевых топологических групп S1 ~ 17(1) Отображение R" —> Rn/D ~ Tn накрывающее. § 4. Топологические группы
61
Теорема 3. Пусть G — линейно связная топологическая группа, накрывающая топологическую группу G- Тогда ядром гомоморфизма р: G -Л G является дискретная подгруппа, принадлежащая центру группы G.
Доказательство. Поскольку р — гомоморфизм, то его ядро Г — инвариантная подгруппа. Из определения накрывающего отображения вытекает, что Г — дискретная подгруппа. Для каждого к Є Г рассмотрим непрерывное отображение группы GbT, сопоставляя элемент g Є G с элементом gkgЄ Г. Пусть Uk — окрестность элемента квС, такая что Uk Г) Г = {к}, a Ue — окрестность единичного элемента, такая что UekU~1 С Uk- Поскольку Г — инвариантная подгруппа, то gkg= к для всех g є Ue- Элементы из G, перестановочные с элементом к, образуют подгруппу G', которая, как мы только что показали, содержит окрестность единицы Ue-Поскольку G — связная группа, имеем G' = G. Теорема доказана.
