Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
53
ту gg1, а также сходимость последовательности {g"1} к элементу g~l.
Из определения топологической группы вытекает, что для всякого элемента go топологической группы G левый сдвиг g —> gog (соответственно правый сдвиг g —ggo) является гомеоморфизмом группы G на себя. Поэтому в топологической группе топологию достаточно задавать полной системой открытых множеств, содержащих единичный элемент (то есть окрестностями единичного элемента). Окрестности другого элемента g Є G получаются умножением окрестностей единичного элемента справа (или слева) на g. Объединяя окрестности всех элементов группы в одну совокупность множеств, получаем набор всех открытых множеств топологического пространства G.
Подгруппой топологической группы G называют такое ее подмножество, которое является подгруппой в алгебраическом смысле и топологическим подпространством. Топология в подгруппе H индуцируется топологией группы G таким образом, что открытые множества в H являются пересечениями открытых множеств в G с множеством Н. Как правило, требуется чтобы подгруппа была замкнутым подмножеством в G, хотя иногда рассматривают и открытые подгруппы. Всюду ниже, если явно не указано иное, под подгруппой топологической группы будем понимать замкнутую подгруппу.
Фактор-группой топологической группы G по ее инвариантной подгруппе H называют фактор-группу G/H в понимании определения в п. 1.5 с топологией, индуцированной топологией группы G. В этой топологии открытыми множествами в G/H являются множества {gH\g є U}, где U пробегает все открытые множества в G. Фактор-группа топологической группы с этой топологией является топологической группой.
Пример 2. Аддитивная группа К вещественных чисел с введенной в примере 1 топологией является топологической группой. Фактор-группа R/Z группы R по подгруппе целых чисел также является топологической группой.
Пример 3. Введем в группу GL(n, С) координаты, считая, что координатами матрицы g = (gij) являются числа Xij = gij — 6ц, где Sij = 0 при і ф j и Sij = 1 при і = j. Это отождествляет груп- 54
Глава 1
пу GL(n, С) с метрическим пространством С"2, из которого выброшено множество, задаваемое уравнением det g = 0, и превращает ее в топологическое пространство. Если Xij и уц — координаты матриц gi и g2, то координаты Zij матрицы g\gi выражаются через Xij и Уіj формулой
Tl
Zij = Xij + Vij + XikVkj-jt=i
Отсюда видно, что координаты Zij непрерывно зависят от координат элементов g\ и g2 и поэтому GL(n,C) — топологическая группа.
Под изоморфизмом топологических групп понимают определенный в п. 1.4 изоморфизм групп, который является гомеоморфизмом соответствующих топологических пространств. Отображение топологической группы G на топологическую группу G' называют гомоморфизмом топологических групп, если оно является гомоморфизмом в понимании изложенного в п. 1.4 и непрерывным отображением G на G' и если полными прообразами открытых подмножеств из G' являются открытые подмножества в G.
4.3. Связность. Для топологических групп важными являются понятия связности и односвязности (или многосвяз-ности) группового пространства, а также понятия о накрытии и универсальном накрытии неодносвязных групп. Как мы увидим ниже, эти понятия являются только первыми ступенями в изучении топологической структуры непрерывных групп. Они будут углублены и развиты на примерах групп Ли, которые являются частным, но в то же время распространенным классом топологических групп.
Топологическое пространство (топологическая группа) называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся подмножеств, которые являются одновременно открытыми и замкнутыми. Если пространство X связно, то единственными открыто-замкнутыми множествами в нем являются пустое множество и все пространство X.
Если Xq — некоторая точка топологического пространства X, то существует максимальное связное подмножест- § 4. Топологические группы
55
во Xo С X, содержащее эту точку. Множество Xo всегда замкнуто; его называют связной компонентой точки ж0- Очевидно, что оно также является связной компонентой любой другой точки, принадлежащей X0.
Если связной компонентой в пространстве X является каждая его точка, то его называют вполне несвязным.
Замечание. Дискретное пространство является вполне несвязным. Но эти два понятия не тождественны. Например, аддитивная группа рациональных чисел вполне несвязна, но она не является дискретным пространством.
Кроме чисто топологического понятия связности, приведенного выше, существует понятие линейной связности. Топологическое пространство (топологическая группа) называется линейно связным, если две любые его точки можно соединить непрерывным путем. Напомним, что непрерывным путем называют непрерывное отображение tp замкнутого интервала I числовой прямой (для определенности пусть I = [0,1]) в данное топологическое пространство.
Утверждение 1. Каждое линейно связное топологическое пространство является связным.
Доказательство. Действительно, если ip: I —»¦ X — непрерывный путь, то его значения tp(t), t Є I, образуют в пространстве X связное множество, поскольку оно является образом связного множества I. Концы пути tp, то есть точки <р(0) и у>(1), принадлежат этому же связному множеству. В линейно связном множестве любые две точки можно считать концами некоторого непрерывного пути, связывающего их. Поэтому все точки линейно связного пространства принадлежат к одной связной компоненте. Утверждение доказано.
