Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Группа Т, дополненная несобственными симметриями — зеркальными отображениями относительно плоскостей, проходящих через ребро и середину противоположного ребра, является полной группой симметрий тетраэдра. Обозначим ее через Т. Зеркальному отображению относительно плоскости O3O4O3-O4' соответствует транспозиция (1, 2). Поэто-
3.76. Группа симметрий куба (октаэдра). Если центр каждой грани куба выбрать за вершину выпуклого многогранника, то этим многогранником будет октаэдр. То есть октаэдр и куб являются двойственными многогранниками. Их группы симметрий совпадают (см. рис. 4).
T ^ Aa.
му T = TU(1,2)T~S4.
O3
O1
Oy
Рис. 4.
Очевидно, что группа вращательных симметрий куба содержит подгруппу Т, а также вращения вокруг осей Ох, Oy, § 3. Симметрическая и знакопеременная группы
47
Oz на углы 7г/2 и Зїг/2 и вращения на угол ж вокруг шести осей, проходящих через середины противоположных ребер. Сопоставим эти преобразования с перестановками больших диагоналей куба, которые, как и раньше, занумеруем числами 1, 2, 3, 4:
гх(тг/2) (1,2,3,4), гх(Зтг/2) (1,4,3,2), гу(тг/2) —> (1,2,4,3), гу(Зтг/2) (1,3,4,2), гг(тг/2) (1,4,2,3), гг(Зтг/2) (1,3,2,4), гл(тг)-*(1,4), гв(тг)-*(2,4), гс(тг)^(2,3), rD(n) ->(1,3), rF(TT) ->• (1,2), гя(тг)->(3,4).
Эти сопоставления показывают, что группа вращательных симметрий куба (октаэдра) К изоморфна симметрической группе S4: К ~ S4. Поэтому ord К = 24.
Дальнейшее расширение группы К можно осуществить, удвоив ее подобно к предыдущему случаю за счет инверсий. Полная группа симметрий куба К = К х C2 имеет 48 элементов.
3.7в. Группа симметрий икосаэдра (додекаэдра).
Икосаэдр (двадцатигранник), изображенный на рис. 5, имеет 12 вершин и 20 ребер. Грани являются правильными треугольниками. В каждой вершине сходится пять таких треугольников. Дуальным к икосаэдру является додекаэдр, имеющий 12 граней и 20 вершин.
Вращения вокруг осей, проходящих через противоположные вершины икосаэдра, на углы 7г/5, 2ж/5, Зїг/б, 47г/5 являются симметриями икосаэдра. Симметриями также являются вращения на углы 2їг/3 и 4їг/3 вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней, а также вращения на угол 7г вокруг осей, проходящих через середины противоположных сторон. Вместе с тождественным преобразованием это дает 60 элементов. То есть порядок группы вращательных симметрий икосаэдра равен 60.
Существует взаимно однозначное соответствие между элементами группы Y и шестьюдесятью четными перестановками пяти объектов. Этими объектами являются тройки ортогональных медиан икосаэдра. Чтобы получить их, соеди- 48
Глава 1
ним середины противоположных ребер икосаэдра и множество пятнадцати медиан разобьем на пять подмножеств, объединяя в них тройки взаимно ортогональных медиан. Эти тройки называют ортогональными триадами.
Покажем, что самосовмещения (вращательные симметрии) икосаэдра приводят к четным перестановкам на множестве ортогональных триад. Для этого заметим, что через середины ребер, выходящих с фиксированной вершины, проходят медианы, принадлежащие к разным ортогональным триадам, поскольку угловое расстояние между серединами смежных ребер (относительно центра многогранника) меньше от 7г/4. Ортогональные медианы строятся с помощью пятиугольника, натянутого на пять ребер, выходящих с одной вершины. Медианы, проходящие через середины ребер, одно из которых выходит из вершины, а другое является противоположной стороной пятиугольника, ортогональны.
Занумеруем середины ребер, как показано на рис. 5, и сопоставим вращательным симметриям икосаэдра перестановки чисел 1, 2, 3, 4, 5. Порождающие элементы циклических подгрупп Cs, связанных с вершинами Оі, і = 1,2,3,4,5,6, со-
O1
O2
O4
1
Рис. 5. § 3. Симметрическая и знакопеременная группы
49
поставляются с циклическими перестановками:
Oi (1,2,3,4,5), O2 (1,4,3,5,2), O3 -> (1,3,2,5,4), O4 (1,5,2,4,3), O5 (1,3,5,4,2), O6 (1,4,2,3,5).
Циклическим подгруппам O3, связанным с центрами граней икосаэдра, сопоставляются циклы
(5.3.1), (1,4,2), (2,5,3), (3,1,4), (4,2,5),
(3.4.2), (4,5,3), (5,1,4), (1,2,5), (2,3,1).
Подгруппы O2, соответствующие осям, проходящим через середины противоположных граней, сопоставляются с произведениями транспозиций. А именно, поворотам вокруг осей первой триады соответствуют перестановки
(2,3)(4,5), (2,5)(3,4), (2,4)(3,5),
для второй триады —
(1,3)(4,5), (1,4)(3,5), (1,5)(3,4),
для третьей —
(1,2)(4,5), (1,4)(2,5), (1,5)(2,4),
для четвертой —
(1,2)(3,5), (1,3)(2,5), (1,5)(2,3),
для пятой —
(1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3).
Установленное соответствие элементов группы У четным перестановкам пяти объектов задает изоморфизм между группами Y и A5: Y ~ A5. Поэтому ord Y = ord A5 = 60.
Группу Y можно расширить до полной группы симметрий икосаэдра У, добавив «диаметральное» отображение а — инверсию относительно центра икосаэдра: сг2 = е. Группа У 50
Глава 1
имеет порядок 120. Заметим, что группа У не изоморфна симметрической группе S5, хотя эти группы имеют одинаковые порядки. Действительно, во-первых, «диаметральному» отображению не соответствует никакая перестановка медиан и, во-вторых, хотя группа S5 (как и У) имеет инвариантную подгруппу A5 ~ У, никакой инвариантной подгруппы порядка 2 она не содержит.
