Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
4.5. Расслоения. Понятие расслоения обобщает как понятие накрытия, так и понятие прямого произведения топологических пространств.
Расслоением называют тройку (Х,р,В), где X — топологическое пространство расслоения (иногда его называют тотальным), р — отображение пространства X в топологическое пространство В, называемое базой расслоения- Расслоения будем обозначать греческими буквами Например, Tj= (Х,р,В). Множество р-1(Ь) С X, Ь Є В, называют слоем над точкой Ь. Интуитивно расслоение можно представить себе как объединение слоев, параметризованных точками базы В и «склеенных» топологией пространства X.
Пример 11. Накрывающее пространство X вместе с проекцией р и пространством X образуют расслоение т) = (Х,р, X). Слой над любой точкой является дискретным пространством.
Введенное определение расслоения достаточно общее. Поэтому оно слишком аморфно. Более узким, но достаточно широко употребляемым является понятие локально-тривиального расслоения. Таким расслоением называют четверку объектов (X,p,B,F), где первые три объекта такие же как. 62
Глава 1
и раньше, a F — топологическое пространство, характеризующее отображение р~г и называемое типовым слоем расслоения. Требуется, чтобы для каждой точки Ь Є В существовала окрестность UcB, такая что множество (U) было гомео-морфно прямому произведению FxU. Если через ip обозначить гомеоморфизмр-1 (U) -+FxU, то локально-тривиальное расслоение можно характеризовать диаграммой
где U •<=> U означает отождествление UcU.
Векторное расслоение — это локально-тривиальное расслоение, каждый слой которого имеет структуру векторного пространства. То есть т] = (Х,р, В, V), где V — к-мерное векторное пространство (вещественное или комплексное). Кроме того, требуется, чтобы для каждой точки Ь Є В сужение отображения ip-. р-1 (U) —> V х U на элементы р-1(Ь) было изоморфизмом соответствующих векторных пространств.
Тривиальным примером векторного расслоения являются прямые произведения линейных пространств. Если V — одномерное векторное пространство, то соответствующее расслоение называется линейным.
Пример 12. Расслоение ? = (F х B,p,B,F), тотальным пространством которого является прямое произведение двух пространств, а отображение р — проекция на второй сомножитель, называют тривиальным расслоением, или расслоением-произведением с базой В и слоем F.
Пример 13. Расслоенным пространством является любая топологическая группа G, в которой фиксирована некоторая замкнутая подгруппа Н. Соответствующее локально-тривиальное расслоение г) = (G,p,G/H,H) имеет базой В однородное пространство G/H, а отображением р — каноническую проекцию р: G —> G/H. Слоем над каждой точкой х Є G/H является подгруппа Hx, изоморфная подгруппе Н. Кроме того, локально G ~ (G/H) ж Я.
P
U
и § 5. Группы пространственных симметрий
63
Если в вещественном (или комплексном) пространстве V фиксирован базис ei, ег, - -. ,е„, то тем самым определен изоморфизм V Mn (или V С"). Тогда окрестность U вместе с отображением (гомеоморфизмом) ip: р-1([7) En х U (или <р: Jr1(U) —ь С" X U) называют локальной координатной картой векторного расслоения.
Одним из наиболее важных классов расслоений является класс так называемых расслоений Стинрода; их также называют расслоениями со структурной группой или косыми произведениями.
Расслоения Стинрода — это такие локально-тривиальные расслоения, в которых дополнительно задано эффективное действие топологической группы на его слоях. В примере 13 описано одно из таких расслоений. Его структурной группой является группа Н, а тотальным пространством — топологическая группа G.
§ 5. Группы пространственных симметрий
5.1. Введение. Реальные физические процессы происходят в трехмерном евклидовом пространстве. Поэтому естественно, что как непрерывные, так и дискретные группы преобразований этого пространства возникают в физических теориях как группы симметрий. Это в первую очередь относится к группе вращений и ее конечным подгруппам, а также к группам трансляций на плоскости и в пространстве.
В современной физике важное значение имеют пространственно-временные преобразования Лоренца и Пуанкаре. Группы этих преобразований являются фундаментом релятивистской физики. Инвариантность (симметрия) физических законов относительно группы Лоренца и Пуанкаре выражает принцип относительности — один из самых универсальных законов природы.
Более узкую сферу применений имеют пространственно-временные преобразования, дополняющие группу Пуанкаре до полной группы конформных преобразований четырехмерного пространства-времени. Эти преобразования также целесооб- 64
Глава 1
разно рассмотреть, поскольку существует целый ряд явлений, в которых наблюдается точная конформная симметрия. Кроме того, в некоторых физических моделях выполняется асимптотическая конформная симметрия. Это значит, что конформная инвариантность имеет место только для граничных значений параметров, характеризующих теорию. В этих случаях важными являются исследования нарушения симметрий.
