Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Накрытие р позволяет понять геометрию группы SO(3). Действительно, при отображении р диаметрально противоположные точки и и —и на сфере S3 ~ SU(2) сопоставляются с одной точкой в SO(3). Отождествляя ее с прямой, проходящей через точки и и — и в E4, получаем соответствие между топологическим пространством SO(3) и пространством прямых в E4, проходящих через начало координат, то есть с проективным пространством EP3:
р: SU(2) EP3 ~ SO(S).
Пространство EP3 ~ S0(3) не является односвязным. Его фундаментальная группа 7Гі(ЕР3) = 7Гі(.50(3)) изоморфна группе Z2, состоящей из двух элементов. Нетривиальность группы 7Гі(.50(3)) легко объяснить геометрически. Заметим сначала, что все замкнутые пути в SU(2) ~ S3, стягиваемые в точку, переходят при отображении р снова в замкнутые пути, стягиваемые в точку. Нетривиальный замкнутый путь в .50(3) может возникнуть только из незамкнутого пути в пространстве SU(2), начинающегося в точке е и заканчивающегося в точке —е, например, из пути <т(т), задающегося отображением
cos 2-їїт — sin 27ГТ 0\ sin27rr cos 2тгт О J . О 0 1/
Образом этого пути является замкнутый путь в S0(3), поскольку его концы е и —е отображаются в единицу группы .50(3). Путь р(а(т)) является нестягиваемым в точку в .50(3). Действительно, все его непрерывные деформации, согласно теореме Эйлера, сводятся только к замене аргумента тригонометрических функций в матрице (5.7) некоторой
72
Глава 1
гладкой функцией а(т), где а(0) = 0 и а( 1) = 2я", а также к преобразованию подобия. В пределах таких деформаций невозможно преобразовать путь р(сг(г)) в точку.
Класс [р(ст(т))] является порождающим элементом фундаментальной группы 71-1(50(3)). Но путь р(а(т)), пройденный дважды, то есть [р(<т(-7-))]2, является образом замкнутого пути в SU(2) и поэтому стягивается в точку. Таким образом, мы показали, что
7^0(3)) = (^(^))]}-?.
5.6. Группа SOo(l,2) и ее двулистное накрытие.
Вещественное векторное пространство V, в котором скалярное произведение не является положительно определенным, называют псевдоевклидовым, а группу линейных преобразований, сохраняющих это скалярное произведение, — псевдо-евклидовой.
В трехмерном случае псевдоевклидово скалярное произведение (с точностью до знака) сводится к следующему
2
(х,у) = ХоУо - Xiyi - Х2У2 = ^ (5'8)
H,v=0
где
2 2 X=E у = Yl у
Ii=O H=O
(е„, е„) = Ъ^, (Ь„„) = B = diag(l, -1,-1).
Линейные преобразования, сохраняющие это скалярное произведение, образуют группу 0(1,2). Матрица g Є 0(1,2) удовлетворяет соотношению псевдоортогональности
SrBg=B, (5.9)
где индекс T обозначает транспонирование. Это соотношение развертывается в шесть независимых квадратных уравнений, фиксирующих групповое многообразие 0(1,2) как алгебраическое многообразие, вложенное в пространство IK9. Поэтому это многообразие имеет размерность 3.§ 5. Группы пространственных симметрий 73
Из (5.9) вытекает, что для матриц g є 0( 1, 2) имеем detg = ±1. Поэтому группа 0(1, 2) состоит из двух подмножеств 0+(1, 2) = 50(1, 2) и 0-(1, 2), для которых соответственно detg = 1 и detg = — 1. Одно из уравнений системы (5.9) имеет вид
Soo - Soi ~ So2 = 1-
Поэтому Igbol ^ 1, то есть или goo ^ 1, или goo ^ 1. Исходя из этого получаем, что каждое из множеств 0+(1,2), 0_(1,2) разбивается на два непересекающихся связных подмножества. Следовательно, группа 0(1,2) состоит из четырех связных компонент. Компонента, для которой goo ^ 1 и detg = 1, является подгруппой. Ее обозначают через SOo(1,2).
В физических приложениях группа 0(1,2) возникает как подгруппа группы преобразований Лоренца (см. ниже п. 5.7), оставляющая без изменения одну из пространственных координат. При этом координата Xo играет роль времени t (точнее, X0 = ct, где с — скорость света).
Пространство E3 с билинейной формой (5.8) будем обозначать через Miy2• Действуя в пространстве Mit2, группа S0o(l,2) расслаивает его на следующие орбиты:
1) верхние полы H2 т двуполостных гиперболоидов, задаваемые уравнениями
хо ~ xI ~~ х\ — m2i т> О, X0 >0;
2) нижние полы H2L rn двуполостных гиперболоидов:
хо ~ xI — х\ — m2i т > 0' ж0 < 0;
3) однополостные гиперболоиды Г^, задаваемые уравнениями
X2 - X2-xl = —т2, т > 0;
4) нижнюю и верхнюю полы К± изотропного конуса К2, задаваемого уравнением
xl-x\-x\ = 0, (жо,жі,ж2) Ф (0,0,0);
5) точку 0 = (0,0,0).74 Глава 1
Перечисленные орбиты (как однородные пространства) эквивалентны следующим фактор-пространствам:
Hlm ~ 5O0(l, 2)/50(2), Tll ~ SOo{l, 2)/50(1,1), ~ 5O0(l,2)/JV,
где JV — нильпотентная подгруппа, состоящая из матриц
,2
Tl =
1+?- -?- «1
? J. «Є
V a —a Iy
Эти матрицы оставляют неподвижной точку Xo = (1,1,0) Є К2.
Рассмотрим верхнюю полу Н\ т двуполостного гиперболоида. Это многообразие (как и H2L ) является гиперболической плоскостью. Если параметризовать его, положив
Xo = т ch т, Х\ = тп sh т cos у?, жг = тп sh т sin <р, T ^ 0, 0 ^ у? < 2тг,
то соответствующая риманова метрика, являющаяся сужением на Н\ m псевдоевклидовой метрики, имеет вид