Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
39
длины циклов в разложении перестановок р и р' одинаковы. Наоборот, если перестановки р и р' из Sm разлагаются в произведения независимых циклов одинаковых длин, то они сопряжены. Например, если pup' — перестановки из Se вида
р = (1, 3)(2, 4, 5, 6), р' = (5, 6)(1, 4, 3, 2),
L, где
Л 3 2 4 5 б\ Л 2 3 4 5 б\ ^5 6 1 4 3 2) ~ 1 6 4 3 2) '
ТО P1 = QPQ 1J где
Q =
В общем случае это утверждение доказывается аналогично. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Классы сопряженных элементов в симметрической группе Sm нумеруются разбиениями числа т в сумму положительных целых чисел. Разбиениям, отличающимся только порядком слагаемых, соответствует один и тот же класс.
3.4. Теорема Кэли. Важное значение в теории групп имеет такая теорема.
Теорема 2. Любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы.
Доказательство. Пусть G — конечная группа порядка п. Запишем ее элементы в фиксированной последовательности е, g\,gi,... ,gn-i и произвольный элемент gi сопоставим с перестановкой
р =P= (Є gl g2 ¦¦¦ g' ' \gi gigl gigl •¦¦ gign-lj
элементов группы G. Докажем, что множество таких перестановок образует группу и эта группа изоморфна группе G. Для этого рассмотрим произведение
п п - I е Sl g2 ¦¦¦ gn-
PkPi = I
\gk gkgl gkg2 ¦ ¦. gkgn
-,)
' Є g1 gl ... gn-ygi gigl gigl ... gig,
-A.
Гп-1 / 40
Глава 1
Выполняем перестановку столбцов в таблице Pf. так, чтобы ее первая строка совпадала со второй строкой таблицы р,-. Тогда
= ( Si gigl gig2 ••¦ gign-1 ^ * \gkgi gkgigl gkgig2 ¦¦¦ gkgign-l) '
Таким образом,
РкРі=(Є 81 82 ёп
\gkgi gkgigl gkgigl •¦¦ gkgign
то есть PkPi = PgkPgi = Pgkgi- Таким образом, отображение gi —> Pgi является гомоморфизмом групп. Поскольку gkgi ф gi, если gk ф е, то его ядро состоит из единичного элемента. Поэтому этот гомоморфизм осуществляет изоморфизм группы G на соответствующую подгруппу группы Sn. Теорема доказана.
3.5. Знакопеременная группа. Строение (структура) групп определяется ее подгруппами. Важную подгруппу в Sm образуют перестановки, разлагающиеся в произведение четного числа транспозиций. Опишем эту подгруппу. Для этого рассмотрим многочлен
Д(жі,ж2,... ,хт) = Д(ж,- -Xj). i<j
Перестановки аргументов этого многочлена могут изменять его знак или оставлять его неизменным. В первом случае говорят, что соответствующая перестановка является нечетной, а во втором — четной. Легко проверить справедливость следующих утверждений:
1. Транспозиция является нечетной перестановкой.
2. Произведение двух четных или двух нечетных перестановок является четной перестановкой. Произведение четной и нечетной перестановок является нечетной перестановкой.
3. Цикл, содержащий к символов, имеет четность (—l)fc+1. § 3. Симметрическая и знакопеременная группы 41
Из этих утверждений вытекает, что множество всех четных перестановок из Sm образует подгруппу, которую называют знакопеременной группой и обозначают через Am. Группа Аз коммутативна, а группы Am, т ^ 4, некоммутативны.
Утверждение 1. Подгруппа Am является инвариантной подгруппой индекса 2 в симметрической группе Sm.
Доказательство. Поскольку рр0р~г — четная перестановка для произвольных р Є Sm и р0 Є Am, то Am — инвариантная подгруппа в Sm. Поскольку транспозиция (іі,і2) — нечетная перестановка, то смежный класс Ат(іі,і2) (или (і\,і2)Ат) состоит только из нечетных перестановок. Если р — любая перестановка, то среди перестановок р и р(і\, г2) одна перестановка четна а другая - нечетна. Поскольку р = — і )]і ''2), то любую перестановку можно отнести или к Am, или к Am(IuI2)- Другими словами, смежные классы Am и Am(ii,i2) исчерпывают всю группу Sm:
Sm = AmU Ат(іг,і2) = AmU (іі,г2)Ат.
Это значит, что Am имеет индекс 2 в Sm. Утверждение доказано.
Группа Am порождается циклами длины 3. Действительно, согласно определения любой элемент g Є Am является произведением четного числа транспозиций. Если среди них существуют транспозиции, имеющие общий символ, например (а, 6) и (а, с), то их произведение является циклом длины 3: (а, Ь)(а, с) = (с, а, 6). Если транспозиции не имеют общих символов, то
(а, 6)(с, (I) = (a, 6)(6, с)(6, с)(с, d) = (а, Ь, с)(Ь, с, d).
3.6. Простота знакопеременной группы. Напомним, что простой называется группа, не имеющая инвариантных подгрупп. Докажем такую теорему.
Теорема 3. При т ^ 5 знакопеременная группа Am проста.
Доказательство. Предположим, что в Am существует инвариантная подгруппа Н, отличная от {е} и всей группы Amj и рассмотрим несколько возможных случаев. 42
Глава 1
Случай 1: подгруппа H содержит элемент h = (а, Ь, с), являющийся циклом длины 3. Рассмотрим сопряженный элемент
i-1ht = (Ь, q)(a, р)(а, Ь, с)(а, р)(Ь, ?),
где р и q — символы, переставляемые элементами группы Arn. Простые расчеты дают t-1/it = (с, р, q), то есть цикл (с, р, q) тоже лежит в Н. Поскольку р и q— произвольные символы, то таким образом можно получить и цикл (с, г, q). Произведение этих двух циклов
