Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 6

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 154 >> Следующая


Задача 2. Покажите, что образом отображения ipgl является вся группа G.

Множество внутренних автоморфизмов группы G образует группу относительно умножения (композиции) отобра- 20

Глава 1

жений, причем V^1Vg5 = Vgigi' Эту группу обозначают через IntG. Очевидно, что IntG является подгруппой в группе AutG всех автоморфизмов группы G. Если группа G коммутативна, то Int G состоит из одного элемента.

Если H — подгруппа в G и g Є G, то gHg"1 — также подгруппа. Ее называют сопряженной к Н. Как отмечалось выше, если gHg~1 С H для произвольного g Є G, то H называют инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Используя эту терминологию, последнее утверждение теоремы 1 можно сформулировать так: ядро гомоморфизма 1р: G G' является инвариантной подгруппой в G. Очевидно, что всякая подгруппа коммутативной группы инвариантна.

Задача 3. Покажите, что если H — инвариантная подгруппа в G, то glig-1 — H для всех g Є G.

Задача 4. Покажите, что Int G ¦— инвариантная подгруппа в Aut G.

1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа. Фактор-группа. Пусть H — подгруппа в группе G. Все множество G можно разбить на подмножества, объединяя в каждое из них элементы, отличающиеся друг от друга на правый множитель из подгруппы Н. Подмножество элементов gH = = {gh I h Є H}, где g — фиксированный элемент группы G, называется правым смежным классом группы G по подгруппе Н. Аналогично определяются левые смежные классы: Hg = = {hg\h Є H}. Элементы класса называются его представителями. Подгруппа H сама является смежным классом.

Поскольку при ghy = gh2 имеем hi = h2, то все правые смежные классы имеют одинаковое количество элементов, совпадающее с количеством элементов в подгруппе Н. Правый смежный класс имеет такое же количество элементов, что и левый.

Утверждение 1. Левые (правые) смежные классы или не пересекаются, или совпадают.

Доказательство. Пусть g є Hgi и ge Hg2. Тогда существуют такие элементы hi и h2 из Н, что g = h1g1 = h2g2. Таким образом, gi = h^1h2g2 = h'g2, h' Є Н. Это означает, что gi вместе со всем классом Hgi принадлежит к Hg2. Кроме § 1. Элементарные понятия теории групп

21

того, g2 — /? 1Ziigi = h"gi, h" Є Я, что значит, что Hg2 С Hg1. Поэтому Hg2 = Hg1. Аналогично утверждение доказывается для правых смежных классов.

Обращая все элементы из правого класса giH, получаем элементы вида hgf1, h Є H, принадлежащие левому классу Hgi1. Наоборот, обращая все элементы из левого класса Hg2, получаем элементы правого класса g^lH. Эти простые рассуждения доказывают взаимно однозначное соответствие между правыми и левыми смежными классами, построенными по фиксированной подгруппе Н. Однако правые классы не обязательно совпадают с левыми, то есть, вообще говоря gH ф Hg.

Если же разбиение на смежные классы осуществлено по инвариантной подгруппе, то получаем совпадение правых и левых классов: gH = Hg, а само множество классов допускает групповую операцию. Действительно, если gi/ii и g2h2 — элементы из смежных классов, то

gihi ¦ g2h2 = gig2g21h1g2h2 = g1g2h'h2 Є gyg-iH.

В этом случае пишут g-^Hg^H = g1g2H. Ассоциативность этой операции очевидна. Подгруппа H играет роль единицы, а обратным элементом к gi H является gylH. Полученная группа G', групповыми элементами которой являются смежные классы, построенные по инвариантной подгруппе, называется фактор-группой группы G по H и обозначается через G/H. Очевидно, что отображение g -» gH является гомоморфизмом группы G на группу G/H, ядро которого совпадает с Н. Известная теорема о гомоморфизмах утверждает, что всякий гомоморфизм ip группы G в группу G' превращается в изоморфизм фактор-группы G/кетф на группу Imip С G'.

Если группа G конечна, то количество смежных классов по H называется индексом подгруппы HbGk обозначается через [G: Н].

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок и индекс подгруппы H являются делителями порядка группы G и

ord G = [G: Я] -ord Я. 22

Глава 1

Доказательство. Поскольку смежные классы не пересекаются, то всю группу можно представить как их объединение:

G = H U giH U ... U gkH. Поэтому ord G = к-ord H, где к = [G: Н]. Теорема доказана.

Из теоремы Лагранжа вытекает такое следствие: если порядком группы G является простое число р, то G — циклическая группа. Действительно, если р — порядок группы G, a g — нетривиальный элемент в G, то циклическая подгруппа, порожденная элементом g, совпадает со всей группой. Таким образом,

G = {е, g,g>,..., Sp-1J-Cp.

Из теоремы Лагранжа также вытекает, что подгруппа индекса 2 инвариантна. Действительно, если G разбивается на два смежных класса, одним из которых является Н, а другим — ее дополнение gH или Hg, то gH = Hg. Таким образом, gHg~1 = Н, то есть H — инвариантная подгруппа.

1.6. Однородные пространства. Классы сопряженных элементов. Пусть G — группа преобразований множества X. Каждой точке а Є X соответствует орбита 6(a) = {х Є X IX = ga, g&G} = Ga Группа G действует транзитивно на каждой из своих орбит. Это значит, что для любых точек 6 и с из 6(a) найдется элемент g ? G, такой что gb = с. Действительно, если b = gi а, с = g2a, то таким элементом g является g2gi1- Следствием транзитивного действия группы G на орбитах является то, что орбиты или совпадают, или не пересекаются. Множество X является объединением орбит. Множество X, состоящее из одной орбиты, называют однородным пространством. Примером однородного пространства является сама группа G относительно правого или левого умножения.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed