Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть H — подгруппа группы G. Пространство правых смежных классов группы G по H обозначают через G/H и называют фактор-пространством. Равенство go(gH) = gogH определяет действие группы G на G/H. Аналогично определяется действие G на фактор-пространстве левых смежных классов: go(Hg) = Hgg^1. § 1. Элементарные понятия теории групп
23
Покажем, что действие группы G на однородном пространстве X эквивалентна ее действию на одном из фактор-пространств. Пусть а Є X. Стабилизатором точки а назовем множество H = {h Є G | ha = а}. Легко проверить, что H — подгруппа в G. Для каждой точки b є X множество {g є GI ga = b} является смежным классом goH, где go — фиксированный элемент, для которого goa = Ь. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между X и G/H, при котором преобразование х —> gx на X переходит в преобразование go II —> ggoH на G/H.
Легко видеть, что если H — стабилизатор точки а Є X, то стабилизатором точки b = goa является подгруппа go Hgo1-Таким образом, если G транзитивно действует на X, то стабилизаторы точек из X сопряжены друг к другу. Это значит, что существует взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных множеств, на которых действует группа G, и классами сопряженных подгрупп группы G.
Пусть H — подгруппа в G и Xjj = {gHg"11 g Є G} — класс сопряженных с нею подгрупп. Формула g{H') = gH'g_1 задает действие группы G в Xjj- Очевидно, что G действует транзитивно в Xjj. Стабилизатор N точки H є Xjj называют нормализатором подгруппы Н. Другими словами, нормализатор N подгруппы H — это множество элементов g Є G, для которых gHg"1 = Н. Ясно, что Xjj ~ G/N.
Множество элементов g є G, таких что ghg~1 = h для всех h Є Н, называют централизатором подгруппы Н. Централизатор — подгруппа в G. Централизатор подгруппы H является также подгруппой ее нормализатора. Централизатор всей группы G называют ее центром. Центр коммутативной группы G совпадает с G.
Задача 5. Покажите, что централизатор является инвариантной подгруппой нормализатора.
Пример 4. При действии группы SO(n) унимодулярных ортогональных преобразований n-мерное евклидово пространство расслаивается на сферы с центром в начале координат. Начало координат является отдельной орбитой. На каждой из сфер группа SO(n) действует транзитивно. Стабилизатором точки (0,0,...,0,1) сферы S"1-1 единичного радиуса является подгруппа SO(n - 1). Поэтому имеем S"1-1 ~ SO(n)/SO(n - 1). 24
Глава 1
Пример 5. Центральная симметрия и тождественное преобразование образуют группу из двух элементов. Под действием этой группы сфера 5"1-1 расслаивается на пары симметрически расположенных точек. Множество этих пар называют проективным пространством и обозначают через Pn-1. Элементами этого пространства можно считать прямые, проходящие через начало координат.
Важными однородными пространствами являются классы сопряженных элементов. В этом случае группа G действует в пространстве X, совпадающем с G. Действие задается формулой g о g0 = gg()g~1. Если go фиксировано, a g пробегает G, то получаем орбиту О (go), совпадающую с классом сопряженных элементов. Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов. Единица группы е образует класс сопряженных элементов, состоящий из одного элемента.
Подгруппу Hgo элементов группы G, перестановочных с go, называют централизатором элемента go. Поэтому класс сопряженных элементов G(go) как однородное пространство отождествляется с фактор-пространством G/Hgo. Отсюда вытекает, что если группа G конечна, то ее порядок ord G делится на число элементов в классе сопряженных элементов. Ясно, что разные классы сопряженных элементов могут иметь разное число элементов.
Утверждение 2. Пусть G — конечная группа, a G1, G2,... ,Gt — все ее классы сопряженных элементов. Тогда
(а) произведение GiGj = {x{Xj | ж,- є Gi, Xj є Gj) произвольных классов Gi и Gj является объединением сопряженных классов;
(б) Если X є Gk и hijk — количество возможных записей вида X = XiXj, Xi Є Gi, Xj Є Gj, то hijk не зависит от выбора X в Gk-
Доказательство. Пусть Xk є Gk и Хк Є GiGj. Тогда Xk — XiXj , где Xi є Gi, Xj Є Gj и для каждого g Є Gk имеем
Gk Э gxkg'1 = gxig-1 ¦ gXjg'1 Є GiGj. (1.1)
Значит, все элементы из Gk принадлежат GiGj. Из (1.1) также вытекает, что hijk не зависит от Хк Є Gk- Утверждение доказано. § 2. Расширения групп 25
Утверждение 2 записывают в виде равенства
г
GiGj = ^hijkGk, (1"2)
je=i
называемого формулой умножения классов сопряженных элементов.
Пример 6. Рассмотрим группу
G8 = (a,b\a2 = b2,a~~1ba = і»-1).
Она имеет восемь элементов е, а, а-1, а2, Ь, Ь~г ,ab. ab3 и разбивается на пять классов сопряженных элементов:
Gi = {е}, G2 = {a2}, Gz = {a,«-1}, Gi = {Ь.Ь~% G6 = {ab,ab3}.
Таблица умножения классов Gj имеет вид
OiGi = G1Gi = Gi, і = 1,2,3,4,5; G22 = Gv, = Gi, і = 3,4,5; G\ = 2 ©і + W2-, = IGr1-, GsGs = G5G3 = 2G4;
il = 2Gi + 26i-, G4G5 = GsGi = 2 G3; G\ = 2 Gi +2G2.
§ 2. Расширения групп
2.1. Расширения групп. Прямые произведения.
Если G0 и Gi — две группы, то нас интересует построение новой группы, которая имеет инвариантную подгруппу, изоморфную группе Go, и которая в случае конечных групп имеет порядок, равный произведению порядков групп Go и Gi-Группу G называют расширением группы Gi с помощью группы Go, если существует гомоморфизм tpi группы G на группу Gi, ядром которого является Go- Другими словами, G является расширением группы Gi с помощью группы Go, если существует последовательность гомоморфизмов 26
