Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(с, г, q)(c, р, q) = (р, q, г)
есть произвольный цикл длины 3. Таким образом, в этом случае подгруппа H совпадает с Am.
Случай 2: подгруппа H содержит элемент h с циклом длины s^ 4, то есть разлагается в произведение независимых циклов
h = (it, г2,... , ia)(ji, 32, ¦ ¦ ¦ , Зг) ¦ ¦ ¦ Пусть t = (г'х, г2, г'з). Образуем произведение ?-1/i?/i-1:
j-1zifh-1 = («і, із, ї2)(їі, г2,... , ї„)(їі, г2, ї'з)(ї'і, is,... , г2).
В результате несложных вычислений получаем t-1/it/i-1 = = (ii, І2, і л)- Таким образом, подгруппа H содержит цикл длины 3, и поэтому этот случай сводится к случаю 1.
Случай 3: подгруппа H содержит элемент h, разлагающийся в произведение независимых циклов, среди которых два или больше циклов имеют длину 3:
h = (її, Ї2, їз)0'і> 32, Із) • • •
Положив t = (із, j і, 32) и вычислив элемент t^1hth~1, получаем
t-1/it/i-1 = (j3, її, ji, ї'з, j2) є H.
Таким образом, этот случай сводится к случаю 2.
Случай 4: подгруппа H содержит элемент, являющийся произведением независимых цикла длины 3 и циклов длины 2. § 3. Симметрическая и знакопеременная группы 43
Квадрат этого элемента является циклом длины 3, и поэтому этот случай сводится к случаю 1.
Случай 5: подгруппа H содержит элемент, являющийся произведением независимых циклов длины 2 в количестве не меньше четырех, то есть
Zi = (ві, а2)(а3, а4)... (а„_з, an_2)(an-i, ап)-
Пусть t = (аь а„_3)(ап-2, а«-і)- Тогда
J-1Zit = (аь ав_і)(о2, а„_3)(а3, а4)... (а„_2, ап).
Домножая полученный элемент справа на Zi, получаем
J-1ZiiZi = (ei, ап_з, а„)(а„-2, а2, ап-1)5
то есть ситуация сводится к случаю 3.
Случай 6: подгруппа H содержит элемент Zi вида Zi = = (а, Ъ)(с, (I). Поскольку согласно предположения то > 5, то кроме символов a, d, с, d множество, на котором действуют перестановки, содержит в крайнем случае еще один символ /. Зададим элемент t = (а, Ь, /) и вычислим произведения t~lht и ht~lht:
Zi' = J-1Zit = (Ь, /)(/, d) Є Я, ZiZi' = (а, /, Ь) Є Н.
Отсюда следует, что подгруппа H содержит цикл длины 3. То есть ситуация снова сведена к случаю 1. Теорема доказана.
Как показано ниже в п. 3.7а, знакопеременная группа A4 имеет нетривиальную инвариантную подгруппу и поэтому не является простой.
3.7. Группа перестановок и симметрии правильных многогранников. Обширный и очень важный класс групп (как конечных, так и бесконечных) составляют группы симметрий геометрических фигур. Некоторые из них уже рассматривались выше. Имеем в виду группы симметрий правильных многоугольников (группы диэдра) и непрерывную группу симметрий окружности.
Среди групп симметрий пространственных тел важное место занимают группы симметрий правильных (выпуклых) 44
Глава 1
многогранников. Такие группы состоят из вращений, в результате которых многогранник совмещается сам с собой, а также из зеркальных отображений (несобственных вращений).
С каждым многогранником ассоциируется дуальный к нему многогранник, вершины которого являются центрами граней данного многогранника. Очевидно, что дуальные многогранники имеют одну и ту же группу симметрий. Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Поскольку куб и октаэдр, а также икосаэдр и додекаэдр взаимно дуальны, то в список групп симметрий правильных многогранников входят три группы:
группа тетраэдра Т,
группа куба (октаэдра) К,
группа икосаэдра (додекаэдра) Y.
Рассмотрим каждую из этих групп отдельно, определив предварительно топологическую характеристику выпуклых многогранников — характеристику Эйлера х-
X = (число вершин) — (число ребер) + (число граней).
Характеристика Эйлера произвольной выпуклой фигуры совпадает с характеристикой Эйлера сферы и равна двум (теорема Эйлера).
3.7а. Группа симметрий тетраэдра. Вращательными симметриями изображенного на рис. 3 тетраэдра OiO2 О3О4 являются вращения вокруг осей OsOг = 1,2,3,4, на углы 27г/3 и 47г/3 = —2їг/3, а также вращения вокруг осей Ох, Oy, Oz на угол ж. Занумеруем оси OiO?, которые являются большими диагоналями куба, числами 1, 2, 3, 4. Тогда вращения вокруг любой из них на заданные углы приводят к циклическим перестановкам оставшихся осей. Например, если гі(27г/3) — вращение вокруг оси OiOi' на угол 27г/3, § 3. Симметрическая и знакопеременная группы 45
Рис. 3.
то ему соответствует цикл (2, 3, 4), а вращению гі(—27г/3) — цикл (2, 4, 1). И далее:
г2(2тг/3) (3,4,1), г2(-2тг/3) (3,1,4),
г3(2тг/3) (1,2,4), г3(-2тг/3) (1,4,2),
г4(2тг/3) (1,2,3), г4(-2тг/3) (1,3,2).
Вращения гж(7г), ry(ir), rz{ir) вокруг осей Ох, Oy, Oz на угол п сопоставляются с произведениями транспозиций:
r.Or)-» (1,2)(3,4), rs(7r)-У (1,4)(2,3), г,(тг)-» (1,3)(2,4).
Три последних преобразования, дополненные тождественным элементом, образуют группу, изоморфную группе диэдра D2. Легко проверить, что это инвариантная подгруппа в группе T вращательных симметрий тетраэдра. Таким образом,
T ~ C3 X D2, ordT = 12, 46
Глава 1
где Сз — циклическая группа порядка 3. С другой стороны, группа T реализуется как группа четных перестановок осей OiO,-, і = 1,2,3,4. То есть
