Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Топологические группы
4.1. Топологические пространства. Абстрактные группы — это множества, в которых единственной структурой является бинарная операция. В конкретных ситуациях, в частности в физических теориях, возникают группы с дополнительными соотношениями для элементов, отличными за своей сущностью от тех, которые вытекают из групповой операции. Дополнительной структурой в группе может быть топология, то есть структура, с помощью которой придается точный смысл таким понятиям, как окрестность элемента, предел, непрерывность, связность и т. д.
Топология на множестве X фиксируется путем выделения системы E подмножеств, для которых выполняются такие условия:
1) Пустое множество и множество X принадлежат Е.
2) Объединение произвольного числа подмножеств системы E является множеством из Е.
3) Пересечение конечного числа подмножеств системы E принадлежит Е.
Множество X, на котором фиксирована топология, называется топологическим пространством, а его элементы — точками этого пространства. Элементы системы E называются открытыми подмножествами. Окрестностью точки х Є X называют любое открытое подмножество, содержащее эту точку.
Множества, являющиеся дополнительными к открытым подмножествам пространства X, называются замкнутыми. § 4. Топологические группы
51
Для каждого множества UcX существует наименьшее замкнутое множество U, содержащее U; оно называется замыканием множества U.
Если на множестве X топология задана так, что каждое подмножество из X принадлежит системе E открытых множеств, то соответствующее пространство называют дискретным.
В топологическом пространстве X можно определить понятие предела последовательности. Точка х Є X является пределом последовательности {жп} в топологии Е, если для всякой окрестности U точки X найдется номер т Є Z+, такой что все элементы последовательности, начиная с хт, лежат в этой окрестности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Ниже мы в основном будем иметь дело с топологическими пространствами, в которых для любых двух разных точек существуют их окрестности, которые не пересекаются. Это условие называется аксиомой отделимости, а соответствующие пространства — отделимыми или хаусдорфовыми. В хаусдорфовых пространствах каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Справедливо и обратное утверждение: если каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел, то пространство хаусдор-фово.
Важный класс топологических пространств составляют метрические пространства. Метрическое пространство — это множество, на котором определена неотрицательная функция (метрика) р(х,у), имеющая такие свойства:
1) РІхіУ) ^ 0, причем р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда X — у;
2) р(х,у) =р(у,х);
3) р(х,у) + p(y,z) ^ p(x,z) (свойство треугольника).
Топология на пространстве X с метрикой р(х, у) задается системой открытых подмножеств, которыми являются конечные и бесконечные объединения открытых шаров
Ку,г = {я Є X\р(х,у) < г}, у Є X, г Є R+. 52
Глава 1
Естественным образом в метрическом пространстве определяются такие важные понятия, как фундаментальная последовательность, равномерная сходимость и др. Мы не будем углубляться в эти вопросы, отсылая читателя к книгам [44, 48].
Пример 1. Определим топологию в множестве R всех вещественных чисел, выбирая в качестве открытых множеств конечные и бесконечные объединения ограниченных открытых интервалов. Множество R, наделенное этой топологией, называется числовой прямой (одномерным пространством). Пространство R является также метрическим пространством с метрикой р(х, у) = \х — у\.
Отображение одного топологического пространства в другое (или самого в себя) называют непрерывным, если образами открытых множеств являются открытые множества. Из определения предела последовательности вытекает, что непрерывные отображения переводят сходящиеся последовательности в сходящиеся.
Взаимно непрерывное и взаимно однозначное отображение одного топологического пространства на другое называют гомеоморфизмом. Сами пространства в этом случае называют гомеоморфными.
4.2. Топологические группы. Группу G, являющуюся топологическим пространством, называют топологической или непрерывной группой, если групповые операции непрерывны в топологии этого пространства. Непрерывность групповых операций означает непрерывность отображения /: Gx XG G, где f(gi,g2) = gig2, и отображения j.G^G, где j(g) = g~l. Непрерывность отображения / означает, что для каждой окрестности Uglg2 точки gig2 найдутся окрестности Ugl и Ug2 точек gі и gi, такие что UglUg2 С Uglg2. Непрерывность отображения j означает, что для каждой окрестности Ug-1 точки g~l найдется окрестность Ug точки g, такая что Ug1 С Ug-1, где под Ug1 понимается множество всех элементов gi1, gi Є Ug.
На языке сходящихся последовательностей непрерывность групповых операций означает, что из сходимости последовательностей {gn} и Igrn) соответственно к элементам gag1 вытекает СХОДИМОСТЬ последовательности Igngfn) к элемен- § 4. Топологические группы
