Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 20

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 154 >> Следующая


5.2. Группа ортогональных преобразований трехмерного пространства. Евклидово пространство En — это вещественное га-мерное векторное пространство с симметрической положительно определенной невырожденной билинейной формой (скалярным произведением) (х,у). Зафиксировав в En ортонормированный относительно этого скалярного произведения базис ei, е2, ¦ ¦. ,еп, можно любой вектор x Є En задавать набором вещественных чисел хх,х2,... ,хп: x = хіеі- При этом скалярное произве-

і

дение приобретает стандартный вид:

п

(х, у) =Yd SijXiyj = Xxy1 + Х2У2 + ¦ ¦ ¦ + Хпуп, і,І=1

а линейным преобразованиям пространства En соответствуют численные матрицы g = (gij) Є Mat(ra, К). В частности, ортогональным преобразованиям, то есть преобразованиям, сохраняющим скалярное произведение (х, у), соответствуют ортогональные матрицы, образующие группу О(п). Таким образом,

0(п) = {g Є Mat(rc, Ж) I f?g = ln}, (5.1)

где индекс T означает транспонирование, a In — единичная матрица порядка га. Группа 0(п) является топологической группой, поскольку она является замкнутой подгруппой топологической группы GL(n,W), что вытекает из определения (5.1).

В случае трехмерного пространства условие ортогональности gf g = I3 содержит шесть независимых уравнений, задающих многообразие размерности 3 в пространстве E9. Точками этого топологического многообразия являются элементы группы O(S). § 5. Группы пространственных симметрий

65

Если g Є 0(3), то detg = ±1. Учитывая непрерывную зависимость определителя матрицы от матричных элементов, приходим к заключению, что многообразие группы 0(3) не является связным, а состоит из двух компонент. Компоненту, для которой detg- = 1, обозначают через 0+(3) = .50(3), а соответствующие преобразования пространства E3 называют вращениями, или собственными ортогональными преобразованиями. Для другой компоненты имеем detg- = —1. Ее обозначают через 0_(3), а соответствующие преобразования называют несобственными. Множество SO(S) является подгруппой в 0(3), поскольку оно замкнуто относительно умножения матриц и содержит тождественное преобразование е = I3- Имеем 0(3) = SO(S) U (~e)S0(3). Подгруппа SO(S) инвариантна в 0(3). Фактор-группа O(S)/SO(S) состоит из двух элементов и изоморфна центру Z2 = {е, —е} группы 0(3).

Группа 50(3), действуя в пространстве E3 ортогональными преобразованиями, расслаивает его на сферы

Sr = {(^1,3:2,3?) I xi + xI + хз = О ^ Д < оо.

Пусть Xo — точка сферы Sjl с координатами xi = X2 = О, X3 = R. В любую точку сферы Sjt можно попасть из точки х0 с помощью последовательного действия на хо двумя однопа-раметрическими преобразованиями

гх(ф)гу(в)-х. о = (R sin в cos ip, R sin в sin ip, RcosO). (5.2)

Поскольку Tz (^)хо = х0, О ^ гр < 2тт, то точка rz(y>)r9(0)rz(^)xo не зависит от ip и совпадает с точкой (5.2). Произведение Tz(ip)Ty(6)rz(ip) однозначно задает почти каждый элемент группы SO(S), параметризуя его тремя углами <р,6,гр, называемыми углами Эйлера. Соответствующую параметризацию

то есть 66

Глава 1

группы SO(S) называют параметризацией Эйлера. Имеем

g=rz(<p)ry(6)rz(il>) =

(cos ip cos Є cos ф—sin ip sin ф —cos ip cos Є sin ф—sin ip cos ф sin ip cos 6 cos ф—cos ip sin ф —sin ip cos Є sin Ф+cos ^3 cos ф —sine cos ф sine sin ф

Углы Эйлера выражаются через матричные элементы матрицы g = (gij) по формулам

COS 0 = g33, cos ip - —- cos ф = —

V1-Sf3 v/l-gfs

Отсюда следует, что в случае, когда g33 = ±1, взаимно однозначное соответствие между элементами группы SO(3) и углами Эйлера ip, в, ф нарушается.

Возвратимся к параметризации сферы Sf = S2 углами (р и в. Поскольку однопараметрическая подгруппа гг(ф), О ^ ф < 27Г, изоморфна группе 50(2), то, сравнивая формулу (5.2) с разложением (5.3) и припоминая определение смежных классов, получаем, что сферу S2 можно отождествить с множеством правых (или левых) смежных классов группы 50(3) по подгруппе 50(2). То есть S2 ~ 50(3)/50(2). Шь скольку подгруппа 50(2) не является инвариантной в 50(3), то соответствующее фактор-пространство S2 не является группой.

5.3. Теорема Эйлера. Докажем теорему Эйлера, согласно которой любое собственное ортогональное преобразование (вращение) является вращением вокруг фиксированной оси на угол, выражаемый через след соответствующей матрицы. Эта теорема в сущности является утверждением о канонической форме ортогональной матрицы. Ее доказательство базируется на свойствах собственных чисел матрицы g Є 50(3).

Теорема 1. Любое вращение g трехмерного пространства является вращением на угол а вокруг оси 1, проходящей через начало координат в направлении собственного вектора преобразования g с собственным значением A = I, причем 2 cos a = Trg- - 1, где Tr g — след преобразования g.

(5.3)

cos ip sin Є\ sin ip sine I. cose J § 5. Группы пространственных симметрий 67

Доказательство. Выбрав координаты х\,х2,х3 пространства E3, представим вращение g в виде матрицы, которую будем обозначать той же буквой g. Характеристическое уравнение для вычисления собственных значений матрицы g = (gij) Є .50(3) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed