Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 11

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 154 >> Следующая


Пример 7. Подгруппа N всех верхних треугольных матриц группы GL(n, С) с единицами на главной диагонали нильпотентна.-Подгруппа H примера 6 не является нильпотентной.

Задача 2. Постройте нормальный ряд группы N примера 7, удовлетворяющий условия определения нильпотентной группы.

Группа, не имеющая инвариантных подгрупп, называется простой. Группу называют полупростой, если она не имеет 36

Глава 1

нетривиальных разрешимых инвариантных подгрупп. Г. Фит-тинг доказал такую теорему (см., например, [36]).

Теорема 7. Если конечная группа не является разрешимой или полупростой, то она является расширением полупростой группы разрешимой группой.

Заметим, что каждая группа имеет максимальную разрешимую инвариантную подгруппу, которая определяется однозначно. Ее называют радикалом группы. Согласно теореме 7 фактор-группа по ее радикалу — полупростая группа.

§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы

3.1. Перестановки. Симметрическая группа. Важное значение в теории групп имеет группа перестановок. Много теорем (абстрактной) теории были сначала открыты именно для этой группы.

Перестановкой (подстановкой) называют взаимно однозначное отображение упорядоченного множества объектов или символов на себя. Пусть имеем m объектов (символов), занумерованных числами натурального ряда. Тогда перестановка р — это отображение

где числа ik разные и принадлежат множеству (1, 2, ... , тп). Перестановку р можно сопоставить с таблицей

В этой таблице можно произвольно размещать столбцы, сохраняя при этом соответствие k -> ik- Поскольку перестановки — это отображения, то композиция отображений (то есть их последовательное выполнение) удовлетворяет условию ассоциативности и является групповой операцией умножения. Если перестановки pi и р2 заданы таблицами (3.1), то, приведя (путем перестановки столбцов) первую строку первой таблицы

р: (1, 2, ... , тп) (*ь І2, ¦¦¦ , im),

(3.1) § 3. Симметрическая и знакопеременная группы

37

к совпадению со второй строкой второй таблицы и вычеркивая одинаковые строки, получим перестановку, задаваемую произведение рірг перестановок pi и р2- Например,

(I 2 3 4\ (I 2 3 4\

PlP2= [z 2 1 4Д4 3 1 2j =

А З 1 2W1 2 3 4\ А 2 3 4\

~~ \4 1 3 2у ^4 3 1 2) ~ \4 1 3 2)'

Очевидно, что для каждой перестановки р существует перестановка р~1ш-

то есть такая, что рр~г = р~хр = е, где є — тождественная перестановка.

Таким образом, мы определили группу всех перестановок т объектов. ICe называют симметрической группой и обозначают через Sm. Очевидно, что порядок группы Sm равен ml

3.2. Циклы и транспозиции. Циклом или циклической перестановкой называют перестановку, которая часть объектов оставляет неизменными, а остальные ji,j2,-.-, jk переставляет циклически, то есть Ji1 переводит в ji2, ji2 — в іг3, ¦••, Jk — В Jii (множество ji,32,... ,jk совпадает с множеством Ji1 ,Ji2, - -. ,jik)- Такую перестановку обозначают че-Pe3 (Ji1, 3*2, • • ¦ ,Ій)? опуская неподвижные индексы. Например, перестановка

циклична и обозначается (2, 8, 3, 6). Иногда запятые будем опускать и писать (2 8 3 6).

Два цикла группы Sm называют независимыми, если в них нет общих переставляемых индексов. Ясно, что при умножении независимых циклов порядок множителей не влияет на результат.

Очевидно, что всякая перестановка единым образом разлагается в произведение попарно независимых циклов. Практически разложение на циклы осуществляется следующим образом: начинаем с произвольного переставляемого символа

С

1234567 8' 18645273 38

Глава 1

и последовательно записываем за ним символы, в которые он переходит, пока не вернемся к начальному символу. Потом такую же операцию повторяем с оставшимися символами. Разложение завершается тогда, когда в перестановке остаются только неподвижные символы. Например,

(І 2 8 7 6 1 I 9=(1,5,6)(8,8)(4,7).

Циклы длины 2 называются транспозициями. При транспозициях меняются местами два символа, а остальные остаются неподвижными. Любой цикл, а следовательно, любая перестановка может быть разложена в произведение транспозиций. Например,

(її, г2,... , і к) = О'і, г2)(іі, г3) ... (г'і, гк).

Такое разложение неоднозначно. Но во всех разложениях число транспозиций одно и то же и на единицу меньше, чем длина цикла (предполагается, что в разложении нет транспозиций, произведение которых дает тождественную перестановку.

Группа Sm задается своими порождающими элементами — транспозициями pi = (і, і + 1), і = 1, 2,... ,m — 1, и определяющими соотношениями. Можно показать, что

Sm = (pi,i>2, • • • ,Pm-I IPi = Є] PiPj = PjPi для Iг - > 1;

Pi+lPiPi+l = PiPi+lPi)-

3.3. Классы сопряженных элементов. Разложим перестановку р є Sm в произведение независимых циклов:

P = (»1, І2, • ¦ ¦ , ik){jl, 32, ¦ ¦ ¦ , 3s) ¦ ¦ ¦

Легко проверить, что сопряженная перестановка р' = qpq"1, q Є Sm, разлагается в произведение независимых циклов таким же образом:

р' = (g(«i), gfca), • • •, q(ik))(q(ji), q(h), ¦ ¦¦, «u»))

где через q(in) и q(jn) обозначены символы, в которые переходят in и jn при действии перестановки q. Таким образом, § 3. Симметрическая и знакопеременная группы
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed