Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 9

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 154 >> Следующая


Теорема 4 (Шура). Пусть G — конечная группа, a Go — инвариантная подгруппа в G порядка j. Пусть [G: Go] = п, причем п и j не имеют общих нетривиальных делителей. Тогда в G существует подгруппа Gi порядка п, такая что G является полупрямым (или прямым) произведением подгрупп Gi и Go -

За доказательством этой теоремы читатель отсылается к монографии [36].

2.3. Построение расширений. Пусть Gn — группа, порожденная элементами а и be определяющими соотношениями ап = Ь2 и bab-1 = а-1:

Gn = (а,Ь|ап = Ь2, bab'1 = а'1).

Из условия bah~x = о-1 вытекает, что LanI"1 = а~п. Отсюда и из равенства а" = Ь2 выводим, что Ь2 = а~п, то есть b4 = = а2п = 1. Каждый элемент g из Gn однозначно записывается в виде

g=arbs, 0^r^2n-l, s = 0,1.

Таким образом, группа Gn имеет порядок 4п. Подгруппа H = (а I а2п = 1) имеет индекс 2 в Gn и поэтому является инвариантной. Однако группу Gn нельзя представить в виде полупрямого произведения подгруппы H и другой подгруппы, поскольку Gn имеет только один элемент Ь2 порядка 2 и Ь2 ЄН.

Из рассмотренного примера вытекает, что полупрямыми произведениями не исчерпываются расширения групп. Кроме зо

Глава 1

того, фиксированная группа может иметь неэквивалентные расширения. Ниже рассмотрим, как осуществляются расширения в общем случае.

Если расширение уже осуществлено, то есть на основании групп Gi и Go построена группа G, в которой Go является инвариантной подгруппой, то каждый элемент g Є G задает внутренний автоморфизм xpg: g7 —> gg'g~1 в G. Вследствие инвариантности подгруппы Go автоморфизм Ipg суживается на подгруппу Go, то есть мы имеем гомоморфизм группы G в AutG0- При этом элементам go Є Go соответствуют внутренние автоморфизмы Go, определяемые самой группой G0-Поэтому определен гомоморфизм фактор-группы G/Go ~ Gi в Aut Go / Int G0, где Int Go — подгруппа внутренних автоморфизмов группы Go- Таким образом, чтобы построить группу G как расширение группы Gi, необходимо иметь некоторый гомоморфизм ф: Gi Aut Go / Im Go, и разным гомоморфизмам будут соответствовать разные расширения.

Пусть задана семья автоморфизмов Ifigl группы Go как функция на группе Gi. Как и раньше, отождествим множество G с декартовым произведением множеств Gi и Go, то есть элементами в G являются пары (gi, go)- Группу Go отождествляем с подмножеством элементов вида (e,go), наделив его операцией (e,go)(e,go) = (e,gogo)- Определяем также произведение (gi,go)(e,g?) = (gi,gogo)- Используя автоморфизм фе1, задаем сопряжение на образе группы Go при вложении Go —> G:

(gi,e)(e,g0)(gi,e)_1 = (e,^(g0)).

Произведение элементов (gi,e) и (gi,e) зададим в виде

(gi,e)(gi,e) = (gigl,x(gi,g/i)),

где X(gi,gi) — функция на Gi х Gi со значениями в Go, свойства которой описаны ниже. Используя равенство

(ві>во)(ві>?о) = (Si,e)(e,g0)(g!,e)(e,4) =

= l(gi,e№, e)][(gi, erWo)^ e)](e,g?), § 2. Расширения групп

31

задаем групповую операцию умножения в множестве G = Gi ® Go формулой

(Si. So) (Si »So) = (sisi»x(si,si))(e,^i1(g0)si) =

= (Si si, X(gi, si) Vvi1 (So )?o) •

Из условия ассоциативности групповой операции получаем ограничение на функции Ipgl и x(Si»Si):

Vvi-1Wv1(So)) = x(si,si')"1V^(so)x(si,si')»

или

Vvi1Wv(So)) = Vg;1rf(x(si,si')sox(gi,si')-1)I (2-1)

а также

x(si si, si') V^11 (x(si, si)) = x(si,sisi')x(si,si')- (2.2)

Два расширения группы Gi группой G0 называют эквивалентными:

[G0 G ->¦ Gi] ~ [G0 -»• G' -»• Gi],

если группы GhG' изоморфны. Поскольку фактор-группы G/Go и G'/G0 совпадают, то группы GhG' могут различаться только тем, что в них по-разному выбраны представители смежных классов, соответствующие элементам группы Gi: g! -)• (gi, е) Є G, gi (gb ?(gi)) Є G'. To есть изоморфизм <p': G G' фиксируется функцией ?(gi): Gi —> G0 и на элементы группы G он действует по формуле

Ч>' (Sb go) = (gi,?(gi)So).

Если функции ф, X и ф', х' соответствуют эквивалентным расширениям, то они связаны соотношениями

W-^r1(So) = аеіГЧгЧеоШеї), x'(Si)Si) = ^sisiwsi.si^/^si r^tei)-1- 32

Глава 1

Если среди эквивалентных расширений можно найти такое, для которого x(gi>gi) = е, то группа Gi вкладывается в G как подгруппа и группа G является полупрямым произведением групп Gi и Go (см. п. 2.2). Полученное расширение называется разложимым. Тогда Ifigl = gi, где gi определено в п. 2.2.

Пусть G(Go) — центр группы Go- Если значения функции х(ЄиЄг) лежат в G(G0), то согласно соотношению (2.1) отображение ф осуществляет гомоморфизм группы Gi в группу автоморфизмов AutGo группы Go- В этом случае расширение называют центральным, а функции х(Єі>Єг) — коциклами на группе Gi со значениями в G(Go)-

Если Xi(Sugi) и X2(gi,g2) — два коцикла, задающие центральные расширения, то их произведение также является коциклом, то есть он удовлетворяет равенству (2.2). Таким образом, множество коциклов, задающих центральные расширения с фиксированной функцией ф, образуют абелеву группу, обозначаемую через Z2(Gi,G(Go))-

Коциклы, задающие эквивалентные расширения, отличаются один от другого множителем вида
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed