Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
где первый гомоморфизм является вложением Go в G как подгруппы, а второй — факторизацией: G —> Gi ~ G/Go-
Примером простейшего расширения является прямое произведение групп Gi и G0: G = Gi €> Go- Элементами группы G = Gi®Go являются пары (gi,go), а их произведения вычисляются по правилу
(Si,So)(Si>So) = (gi/^god)-
Группа Go вкладывается в G в виде множества элементов (e,go), a Gi — в виде множества элементов (gi,e). Образы этих вложений будем обозначать также через Gо и Gi соответственно. Очевидно, что (gl,e)(e,go) = (Cjgo)(^rIie) = — (Sl'So)i то есть элементы подгруппы G0 коммутируют с элементами подгруппы Gi- Из этого факта следует инвариантность обеих подгрупп.
Очевидным образом определение прямого произведения распространяется на случай конечного числа множителей.
Теорема 1. Если группа G содержит две инвариантные подгруппы Gi и Go, такие что1
GinG0 = M, GiG0=G,
то она изоморфна прямому произведению групп Gi и Go, то есть G ~ Gi <2> G0.
Доказательство. Сначала заметим, что условие инвариантности подгрупп Gi и G0 эквивалентно соотношению коммутативности gigo = gogL для произвольных gl Є Gl и go Є Go- Действительно, в силу инвариантности Gi и G0 имеем
Sf1Sf1Sbgi =So1(Sf1SbSi) Є G0, Sf 1Sf 1SoSi = (Sf1Sf1So)Si Є Gi.
Ho Gi П G0 = {e}. Поэтому So Vf 1SoSi то есть soSi = SiSo-Если G = GiGo, то любой элемент g є G или принадлежит одной из подгрупп Gi, Go, или имеет вид произведения g = SiSo>
1Ecah А к В — подмножества группы G, то под AB понимают множество всех элементов ab, а Є A, b Є В. § 2. Расширения групп
27
gi Є Gi, go Є G0. Представление элемента g в виде g= g!g0 = = gogi единственно, поскольку из равенства gigj = gi'go вытекает, что g'oi^o)'1 = (gi')-1si є G1 n G0 = {е}, то есть что g[ = gj, g? = g?. Таким образом, имеем возможность любому элементу g = gigo сопоставлять пару (gi,go) Є Gi х Go, а произведению элементов g = gig0 и/ = g[g'0 — произведение пар (gi,gb)(gi?go) = (Sigi,So5go)- Из сказанного выше вытекает, что это соответствие является изоморфизмом групп G и G1 ® Go- Теорема доказана.
Пример 1. Пусть Gi — группа матриц размерности тп, a Go — размерности п. Тогда группа G матриц g = diag(gi,g2), gi Є Gi, gi Є G2, размерности тп + п является прямым произведением групп Gi и Go-
Пример 2. Пусть Gi и G2 такие как в примере 1, a gi = ), go = (gki) — матрицы из Gi и G2, соответственно. Образуем матрицы
g = gi ® go S (gjrfc)(st)) = (gLgki)
размерности тип. Тогда группа G' матриц g* изоморфна прямому произведению Gi ® Go. Таким образом, группа G из примера 1 и группа G' изоморфны. Группу G' называют также тензорным произведением матричных групп Gi и G2.
Можно показать, что справедлива такая теорема.
Теорема 2. Каждая нетривиальная конечная коммутативная группа разлагается в прямое произведение циклических групп, порядки которых являются простыми числами.
Заметим, что если операцией в группе является сложение, то прямое произведение групп называют прямой суммой. Примером могут служить прямые суммы векторных пространств.
2.2. Полупрямые произведения. Рассмотрим более общий случай расширения групп. Пусть заданы две группы Gi и Go и гомоморфизм gi —» gi группы Gi в группу автоморфизмов AutGo группы Go- Образуем множество G упорядоченных пар:
G = {{gi,go)]gi Є Gi, go Є Go} 28 Глава 1
и зададим в нем операцию умножения формулой
(Si,So)(Si,So) = (SiSi, (Sir1(Sb) • • -So)-
Тогда
[(si,?)№,?) =
= (sa/- (ШГШГ1 (so) • А] ¦ gu),
{gi, So) [(gi, So ) (Si', So )] =
= (sisisi'^sir'Ksir^so)] • (siTVo) Vo)-
Поскольку эти два выражения одинаковы, то введенная операция ассоциативна. Для каждого элемента (si,So) Є G существует обратный:
(si,so)-1 = (Sf11Sf1(So))-
Таким образом, G — группа. Отождествим Gi и G0 соответственно с подгруппами элементов (g\,e) и (e,s0) в G. Тогда G] П Go = {е}, GiG0 = G. Кроме того,
(Si 5е) (е> So)(sf1,е) = (SbSo)(Sf1Ie) = (e,Si(So)),
то есть G0 — инвариантная подгруппа в G, Gi ~ G/G0 и автоморфизмы 'gi действуют в G0 как внутренние автоморфизмы группы G. Таким образом, G — расширение группы G1 с помощью группы G0. Ее называют полупрямым произведением групп Gi и G0 и обозначают через G1 х G0.
Теорема 3. Если группа G содержит две подгруппы G1 и Go, такие что
G1 Л G0 = {е}, GiG0 = G,
и подгруппа G0 инвариантна, то G изоморфна полупрямому произведению групп G1 и Go, то есть G ~ Gi х Go-
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 и мы его опускаем. § 2. Расширения групп 29
Пример 3. Группа диэдра Dm является полупрямым произведением циклических групп Cm и Ci: Dm = С2 » Cm.
Пример 4. Группа GL(n, С) всех невырожденных комплексных матриц размерности п — полупрямое произведение подгруппы SL(n, С) и инвариантной подгруппы XI, А ф 0, всех диагональных матриц.
Пример 5. Группа ISO(n) всех движений n-мерного евкли-дового пространства, сохраняющих ориентацию, — полупрямое произведение группы вращений вокруг фиксированной точки и инвариантной подгруппы параллельных переносов.
