Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 =m2(dT2 H-Sh2 Tdip2).
Осуществим стереографическую проекцию гиперболоида H^ jn на плоскость E2 = {(жі,жг)}, проходящую через точку Xfi = тп и на которой фиксирована комплексная структура. Для удобства положим тп = Тогда, как легко видеть с рис. 7,
f = Жі + 1X2 = th (5.10)
Кроме того, |?|2 < 1, то есть стереографическая проекция, задаваемая формулой (5.10), отображает верхний гиперболоид H2tfn на внутренность единичного круга D2 в комплекс- § 5. Группы пространственных симметрий 75
ной плоскости. Риманова метрика в этом круге принимает конформнБій вид
= Jj^jj, (5.11)
а кривизна к, вычисленная по формуле Гаусса к = -^cr-1 х
хД 1п<т, постоянна и равна m-2 = 4.
Внутренность единичного круга является однородным пространством относительно дробно-линейных преобразований
= Ha-Ifla = I. (5.12)
?i + a
Множество таких преобразований образует группу, гомоморфную группе матриц
su(iti) = {* = Q. г«е H2 - I^l2 = 1I• 76
Глава 1
Ядро этого гомоморфизма составляют матрицы е и —е, образующие центр группы SU[1,1). Сам открытый единичный круг гомеоморфен как однородное пространство фактор-пространству SU(1,1)/J7(1), где подгруппа U{\) состоит из диагональных матриц diag(e'v'>'2,e~lv'/2).
Дробно-линейные преобразования (5.12) индуцируют преобразования координат точек на гиперболоиде H2 т, а следовательно, псевдоортогональные преобразования g(v) Є SOo (I5 2) пространства Mi^:
V g(v) =
( qq 4-де a? + a? i(a? - a?)
a? + ~a? |(q2 + ?2 + q2 +02) l(a2 - ?2-a2-?2)
yiW-a?) i(a2-a2-?2+?2) \ (a2-?2+a2-?2)/
(5.13)
Сужению преобразований (5.12) на окружность S1 = {? 1|?| =1} соответствуют преобразования точек конуса K2 матрицей g(v).
Соответствие р: v —> g{v), задаваемое формулой (5.13), является отображением накрытия. Прообраз (g) элемента g Є 50о(1,2) состоит из двух матриц v и —г; из группы S1JZ(I5I), то есть накрытие р: SU(1,1) -> 500(1,2) является двулистным (но не универсальным). Ниже в п. 5.8 мы покажем, что фундаментальная группа 7Гі (51/(1,1)) изоморфна группе Z целых чисел, и построим ее универсальное накрытие.
5.7. Группа Лоренца и ее накрывающая группа SL(2, С). Группа Лоренца 0(1,3) является группой псевдоортогональных преобразований четырехмерного пространства Минковского MiiS- Как и ее подгруппа О (1,2), она состоит из четырех связных компонент, отличающихся одна от другой знаком определителя матрицы g = (gliv) Є 0(1,3), р., и = 0,1,2,3, и знаком матричного элемента goo- Нас интересует связная компонента единицы группы Лоренца, которая обозначается через 50о(1,3).
Действуя в пространстве М^з, группа 50о(1,3) расслаивает его нй орбиты. Аналогично предыдущему случаю, § 5. Группы пространственных симметрий 77
орбитами являются такие многообразия:
1) верхние и нижние полы двуполостных гиперболоидов Hlfn = {х Є Мі,з\xl-x\-x\-x\ = тп2, ±ж0 ^ тп}, тп > 0;
2) однополостные гиперболоиды
Г^ = {х Є Mli3 I xl-х\-xl-X23 = -тп2}, тп > 0;
3) верхняя и нижняя полы изотропного конуса
К± = {х Є Mli3 I ж2 - х\ - xl - ж| = 0, ±ж0 > 0};
4) точка X = (0,0,0,0).
Как однородные пространства, перечисленные выше многообразия гомеоморфны соответственно фактор-пространствам
Hiifa ~ SO0(l,3)/SO(3), T3m ~ SO0(l,3)/SO(l,2), ufi~50o(l,3)/??(2),
где Е(2) — подгруппа в SOo(I5S), состоящая из всех матриц, оставляющих неподвижной точку (1,1,0,0) Є Mli3 (эта подгруппа эквивалентна группе изометрий евклидовой плоскости).
Реализуем SO0(I) 3) как группу преобразований евклидовой плоскости. Для этого конус K3 сопоставим с замкнутым подпространством PK3 проективного пространства PMly3. Точками пространства PK3 являются образующие конуса К3. Легко видеть, что PK3 ~ S2 ~ CP1. Локальные координаты в окрестности точки X = {х0,0,0, X3} пространства PK3 удобно ввести, рассмотрев сечение конуса K3 плоскостью, заданной уравнением Xo + X3 = 1. Многообразие, возникающее на сечении, называют орисферой. Оно несет на себе (локально) геометрию евклидовой плоскости и может быть параметризовано комплексным параметром f = ж H- і у. Точкам х Є PK3 сопоставим координату ? согласно формуле
^4=? ж2-ж2-ж2-ж2 = 0. (5.14) 78
Глава 1
Это отображение обобщает стереографическую проекцию на плоскость сферы S2 и гиперболоида i?2jjn = H2. Действительно, положив жо = I в (5.14), получаем формулу (5.6),
а при хз = — і — формулу (5.10). Сфера S2 и гиперболоид H2 рассматриваются при этом как соответствующие сечения конуса К3.
Псевдоортогональным преобразованиям координат X11 пространства М\ ,з соответствуют дробно-линейные преобразования переменной
ai + ?
7f + S'
(5.15)
Эти преобразования образуют группу, называемую группой Мебиуса. Она изоморфна группе
PSL{2, Q ~SX(2,C)/Z2,
где SL(2, С) = {g= (°в) laS-?7 = lJ, Z2 = {є, -е}.
С помощью (5.14) и (5.15) находим отображение р: SX(2,C) SO0(I) 3), являющееся расширением на всю группу SL{2, С) приведенных выше отображений р: SU(2) -t
SO(3) и p:Stf(l,l)->SO0(l, 2). Матрица= ("?) Є
Є SL(2, с), имеет вид
