Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
1.5. Структура комплексных полупростых алгебр Ли и их универсальных обертывающих алгебр. Исходя из разложения (1.9), в полупростой комплексной алгебре Ли 0 введем подпространства
где суммирование ведется по всем положительным корням. Поскольку [Ea,E?] с Ea+?, то E0+? Є п+, если Ea Є n+ к E? ? n+. Следовательно, n+ и n_ — подалгебры алгебры Ли 0. Из того факта, что существует конечное число корней, и из вложения [0a, B?] С Qa+? легко вывести, что элементы adX, где X Є п+ или I € п., нильпотентны. Отсюда, исходя из определения нильпотентных алгебр Ли, легко получить, что подалгебры п+ и п_ являются нильпотентными алгебрами Ли. Можно доказать такую теорему (см., напри-
о> о
о>0
мер, [63]). 364
Глава 2,
Теорема 8. Подалгебры п+ и п_ являются максимальными нильпотентными подалгебрами в д. Всякая максимальная нильпотентная подалгебра eg с помощью внутреннего автоморфизма может быть отображена в п+ (а также в п_). Подалгебры Jj + п+ и 1) + п_ являются максимальными разрешимыми подалгебрами в д. Всякая максимальная разрешимая подалгебра в g путем внутреннего автоморфизма может быть отображена в I) + п+ (а также в + п_).
Ясно, что алгебра Ли g является прямой суммой своих подалгебр n+, I) и п_:
0 = n+ + f)+n_. (1.18)
Элементы Ea, а > 0, образуют базис в п+, а элементы Е-а, а > 0, — в n_. Выбрав какое-то упорядочение /? > /? > ¦ • ¦ >?k положительных корней, получим упорядоченные базисы в п+ и в п_. Элементы
E?4E?i^...E?ir, ?i^?i^.-.^?ir, г = 0,1,2,...,
(1.19)
образуют базис в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли п+ (см. п. 6.7 гл. 1). Аналогичные элементы образуют базис универсальной обертывающей алгебры fJl- алгебры Ли п_. Пусть із — универсальная обертывающая алгебра подалгебры Картана I). Исходя из результатов п. 6.7 гл. 1 легко показать, что универсальная обертывающая алгебра <3 = U(g) алгебры Ли g является произведением универсальных обертывающих алгебр ее подалгебр п+, п_ и I):
> <5 = Ш-йШ+ = 91+йЭТ— (1.20)
Пусть ai,a2,...,aj — простые корни алгебры Ли 0, a Eai,Еа.2,..., Eai — соответствующие им элементы в 0. С помощью последовательного коммутирования [•,•] из этих элементов получаем корневые элементы Ea, соответствующие положительным корням а алгебры Ли 0. Можно показать, что так получаются все корневые элементы Ea алгебры п+. Другими словами, корневые элементы Eai, EcГ2, • • • , Eai , соответствующие простым корням, порождают алгебру Ли п+. § 1. Полупростые группы и алгебры JIu 365
Аналогично, корневые элементы .?/—5 -?/_а2,... ,E—ai порождают алгебру Ли п+. Как вытекает из (1.13),
[Eat, E-at] = Hai, і = 1,2,...,1. (1.21)
Элементы Hai дуальны (относительно формы Киллинга) к простым корням. Поскольку простые корни образуют базис в то Hai, г = 1,2,... образуют базис в подалгебре Картана t). Следовательно, комплексная полупростая алгебра JIu g порождается корневыми элементами Eai,... ,Eai, E-ai,..., E-ai, соответствующими простым корням Ci1,..., сц. Для простых корней ai,... ,aj образуем числа
aij - 2(ai,aj)/(ai,ai), i,j = 1,2,... ,I.
Матрицу (o{j), составленную из этих чисел, называют матрицей Картана. Доказывается [17], что числа целые и при г ф j неположительные (нули или отрицательные). Матрица Картана вместе с порождающими элементами полностью (с точностью до изоморфизма) определяет алгебру Ли д. Действительно, имеет место такая теорема.
Теорема 9. Пусть Ei = Eai,Fi = E-Qi,г = 1,2,... ,1, — корневые элементы комплексной полупростой алгебры JIu д, соответствующие простым корням аі,аг,... ,сц (I — ранг алгебры д), Hi = H0i, і = 1,2,...,1, — элементы (1.21) подалгебры Картана, а (ay) — матрица Картана алгебры д. Тогда
[Hi, Hj] = 0, [Ei,Fi] = Hi, [Ei, Fj]= 0, іфз, (1.22) [Ні, Ej] = aijEj, [Hi,j] =-aijFj, (1.23)
(ad Ei)~aii+1Ej = 0, (1.24)
(ad Fi)~aii+1 Fj = 0. (1.25)
Элементы Ei, Fi, Hi, і = 1,2,... ,1, вместе с определяющими соотношениями (1.22)-(1.25) определяют универсальную обертывающую алгебру U(g) = <5, а следовательно, и алгебру JIu д, однозначно (с точностью до изоморфизма).
За доказательством теоремы отсылаем читателя к шестой главе книги [53]. 366
Глава 2,
Заметим, что в формуле (1.14) числа N?i?j зависят от нормировки корневых элементов. Соотношения (1.24) и (1.25) не зависят от нормировки. Они только утверждают, что Cij + кац, к = 0,1,... , —uij — положительные корни алгебры Ли 0, а линейная форма Otj + (—+ 1)а,- не является корнем.
§ 2. Классификация полупростых алгебр Ли
2.1. Схемы Дынкина. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли сводится к классификации комплексных простых алгебр Ли: полупростая алгебра Ли является прямой суммой простых подалгебр Ли (являющихся ее идеалами). Выше классификация неизоморфных простых алгебр Ли свелась к перечислению их простых корней и матриц Картана. Последние, как видно из формулы (1.17), определяют группу Вейля соответствующей алгебры Ли. Следовательно, классификация комплексных простых алгебр Ли сведена к чисто геометрической задаче. Она решается таким образом.
