Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
где bij — числа, связанные со структурными константами формулой (1.6). Отсюда и из того, что форма Киллинга на вещественной алгебре Ли является ограничением на нее формы Киллинга ее комплексификации, вытекает, что комплексная алгебра Ли и ее вещественные формы одновременно полупростые или не полупростые. Из утверждения 1 также вытекает, что комплексная алгебра Ли 0 и эта же алгебра, рассматриваемая как вещественная удвоенной размерности, также одновременно полупростые или не полупростые.
Из определения полупростой алгебры Ли вытекает, что коммутативная алгебра Ли не может быть полупростой.
Утверждение 2. Пусть 0 — полупростая алгебра Ли, a j — идеал в 0. Пусть Jx — ортогональное дополнение к j в 0 относительно формы В(-, •). Тогда Jx — идеал eg,) Ujj- — полупростые подалгебры Ли 1/0 = )-1-)-1- (прямая сумма).
Доказательство. То, что Jj- — идеал в 0, вытекает из формулы (1.1). Невырожденность формы В{-, •) означает, что dimj + dimj-1- = dim0. Пусть X, Y Є j П jx. Тогда для всякого ZGg имеем
B(Z,[X,Y]) = B([Z,X],Y)=0,
то есть [X, У] = 0. Значит, Jfljj- — коммутативный идеал в 0. Пусть b — подпространство алгебры 0, дополнительное к Jfljj-. Если Z Є b и X Є j П jх, то ad X ad Z отображает j fl jх в {0}, ab — в j fl j-1-. Это значит, что Tr (ad X ad Z) = 0. Поскольку 0 — полупростая алгебра Ли, то jflj-1- = {0} и g = j+j-1-, где сумма прямая. Полупростота j и j-1- вытекает из определения полупростых алгебр Ли. Утверждение доказано. 350
Глава 2,
Из утверждения 2 вытекает, что полупростая алгебра JIu имеет нулевой центр.
Пример 2. Алгебра Ли gl(n, с) имеет центр, состоящий из всех матриц из g[(n,C), кратных единичной матрице. Поэтому g((n,C) не является простой алгеброй Ли. Аналогично, fjl(n, R) не является простой алгеброй Ли.
Полупростую алгебру Ли называют простой, если она не имеет отличных от {0} и g идеалов.
Пусть 0 — линейная (матричная) некоммутативная алгебра Ли, а 0' — ее подалгебра, состоящая из матриц X Є 0, для которых TrX = 0. Легко проверить, что д' — идеал в д. Поскольку Tr (XF — FX) = 0, то вследствие некоммутативности 0 идеал 0; непустой. Отсюда делаем вывод, что если линейная алгебра JIu 0 проста, то ее матрицы имеют нулевой след.
Теорема 2. Полупростая алгебра JIu 0 однозначно записывается в виде прямой суммы своих простых идеалов: 0 = 01 + ..- + 0?. Каждый идеал j в g является прямой суммой некоторых простых идеалов 0Г.
Доказательство. Согласно утверждению 2 0 можно так записать в виде прямой суммы простых идеалов, что идеал j будет прямой суммой некоторых из них. Если а — простой идеал, не встречающийся в разложении 0 = 0i + ... + 0?, то1
[0«>и] С 0„ П а = {0}, S = 1,2,... ,к,
поскольку в противном случае 0„Па было бы простым идеалом В 0, что противоречит простоте 0„.
Следствие 7. Для полупростой алгебры JIu 0 имеем [0,0] = 0.
Доказательство. Пусть 0 — простая алгебра Ли. Tor-да [0,0] — идеал в 0. Поэтому [0,0] = 0. Полупростая алгебра Ли 0 представляется в виде прямой суммы простых идеалов 0 = 01 + ... + 0, и [0i,0j] = 0 для і ф j. Поэтому [0,0] = = [01,0l] + --- + [0«,0«] =0-
1Ecnn n С 0 и Ь С 0, то через [о, Ь] обозначают линейную оболочку элементов [X, У], где X Є о, Y Є Ь. § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
351
Обратное утверждение к теореме 2 также справедливо, то есть если алгебра JIu 0 представляется в виде прямой суммы своих простых идеалов, то она полупроста. Действительно, как показано выше, формы Киллинга на идеалах являются сужениями на них формы Киллинга на д. Поскольку [X, Y] = О, если X и Y принадлежат разным идеалам, то определитель матрицы формы Киллинга на g равен произведению определителей матриц, задающих форму Киллинга на идеалах. Отсюда и вытекает наше утверждение.
В дальнейшем полезным будет понятие дифференцирования алгебры Ли. Линейный оператор D в алгебре Ли называют дифференцированием этой алгебры, если для всех X, Y Є 0
D[X, Y] = [DX, Y] + [X, DY]. (1.7)
Легко проверить, что для двух дифференцирований Di и D2 их коммутатор D = [Di,D2] — дифференцирование. Следовательно, множество д(д) всех дифференцирований алгебры 0 — алгебра Ли. Примером дифференцирования является оператор ad Z присоединенного представления. В этом случае равенство (1.7) представляет собой тождество Якоби для коммутатора. Дифференцирование ad Z, Z ? 0, называют внутренним. Множество внутренних дифференцирований алгебры Ли 0 обозначают ad(0).
Теорема 3. Каждое дифференцирование полупростой алгебры Ли является внутренним, то есть d(g) = ad(0).
Доказательство. При присоединенном представлении равенство ad X = 0 выполняется только для элементов X, принадлежащих центру алгебры. Поскольку полупростая алгебра Ли имеет нулевой центр, то отображение X ad X является точным и алгебра ad(0) операторов adX, X Є 0, полу простая. Если D Є o(g), то легко проверить, что для всех X Є 0 имеем ad [DX) = [D, ad X] = D ad X — (ad X)D. Следовательно, ad(0) — идеал в 9(g). Ортогональное дополнение ad(g)x также является идеалом в 0(0). Поскольку ad(g) — идеал *в 9(g), то ограничение формы Киллинга алгебры o(0) на ad(0) совпадает с формой Киллинга для ad(g) (см. п. 1.1). Отсюда следует, что пересечение ad(0)x П ad(0) 352
