Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2,
ортогонально к ad(g) относительно формы Киллинга в ad(g). Поэтому ad(g)x П ad(g) = {0}. Следовательно, для D Є ad(g)-L имеем [D,adX] Є ad(g)x П ad(g) = {0}. Это означает, что ad(DX) = 0 для всех X Є д. Вследствие точности отображения X ad X имеем D = 0, то есть ad(g)-1- = {0} и ad(g) = = 9(g). Теорема доказана.
Если g — полупростая алгебра Ли и g = gx +... + g* — ее разложение из теоремы 2, то ее присоединенное представление ad разлагается в прямую сумму неприводимых представлений, какими являются сужения представления ad на идеалы g,-, і = 1,2,... , к.
Алгебру Ли д называют редуктивной, если ее присоединенное представление вполне приводимо. Полная приводимость представления ad означает, что g представляется в ви-де g = gx + ... + gr, где gi — неприводимые инвариантные подпространства относительно всех операторов adX, X Є g. Другими словами, если Y Є gi, то (adX)F = [X, Y] Є дг- для всех X Є g. Это означает, что в разложении g = gj. + - - - + gr все являются идеалами, не содержащими нетривиальных идеалов алгебры д. То, что д*, k = 1,2,... ,г, — идеалы, означает, что [Xi,-Xjj = 0 для Xi Є gi, Xj є Qj, і ф j. Если gfc — коммутативный идеал, то для произвольных XJ1 є g* и X = = Xi + ... + Xr, Xi Є g,', имеем [Х,Х?] = [Х*,Х?] = 0. Другими словами, 0ц. принадлежит центру 3 алгебры д. Отсюда вытекает
Утверждение 3. Редуктивная алгебра JIu g является прямой суммой идеала д' и центра 3. Идеал д' является прямой суммой gi+.. .+gr некоммутативных идеалов gj алгебры JIu д, не содержащих других нетривиальных идеалов этой алгебры.
Поскольку некоммутативные идеалы gj из утверждения 3 не содержат нетривиальных идеалов, то [gj,gj] = gj-
Теорема 4. Полупростая алгебра JIu не имеет центра. Редуктивная алгебра JIu g с нулевым центром полупроста.
Доказательство. Пусть алгебра Ли g полупроста. Тогда из утверждения 3 вытекает, что g разлагается в прямую сумму неприводимых идеалов. Если Z — элемент центра алгебры д, то, очевидно, B(Z, Z) = 0. Поэтому g не имеет центра. § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
353
Наоборот, пусть g — редуктивная алгебра Ли без центра. Поскольку д' = [g,g] и д1 — идеалы в д, то если д не имеет нетривиальных идеалов, то g = [g,g] и gx = 0, а значит, g — полупростая алгебра Ли. Если же g имеет нетривиальные идеалы, то всякий ее идеал j является прямой суммой редуктивных идеалов, не имеющих нетривиальных идеалов, то есть [j,j] = j. Такие идеалы не могут быть разрешимы. Алгебра g имеет идеал gx. На нем форма Киллинга превращается в нуль. Поэтому дх — разрешимый идеал. Следовательно, дх = {0}. А это означает, что форма Киллинга невырождена на д, то есть д полупроста.
Полученные в этом пункте результаты позволяют дать другие определения простых и полупростых алгебр Ли, не зависящие от формы Киллинга. Алгебра Ли g называется простой, если dirng > 1 и она не имеет нетривиальных идеалов. Алгебра Ли g называется полупростой, если она является прямой суммой простых идеалов.
Любая редуктивная алгебра Ли g является прямой суммой полупростой подалгебры Ли и своего центра. Это утверждение можно записать формулой g = [g, д] + з, где j — центр. Полупростая алгебра Ли не имеет разрешимых идеалов. Наоборот, если алгебра Ли не имеет нетривиальных разрешимых идеалов, то она полупроста. Для разрешимых алгебр Ли g имеем [g,g] ф д. Поэтому определение полупростой алгебры может быть и таким. Алгебра Ли g полупростая тогда и только тогда, когда [g, д] = д.
Пример 3. Пусть sl(n, С) и sI(?i,R) — алгебры Ли, состоящие соответственно из всех комплексных и вещественных матриц размерности п с нулевым следом. Покажем, что эти алгебры Ли полупростые. Комплексная размерность комплексной алгебры Ли sl(?i, С) и размерность вещественной алгебры Ли sl(?i, R) равняются п2 — 1. Матрицы
Eij, і ф j, Eii - Еі+і,і+і, і = 1,2,... , n - 1, (1.8)
образуют базисы в этих алгебрах. Чтобы показать полупростоту этих алгебр Ли, покажем, что для них выполняется соотношение [д, д] = д. Для этого достаточно показать, что каждый базисный элемент получается путем коммутации элементов алгебры. 354 Глава 2,
Справедливость последнего вытекает из соотношений
— Ejj), Eij^ = Eij, і ф j, [ЕІ,І+І, Ei+1,i] = Eu — ЕІ+\,І+\, i = l,2, — , n — 1.
В действительности можно показать, что s((n, С) и sl(n, R) — простые алгебры Ли.
Группу Ли называют простой, если она не содержит замкнутых связных инвариантных подгрупп, и полупростой, если она не содержит замкнутых связных разрешимых инвариантных подгрупп.
Каждая конечномерная алгебра Ли сводится к полупростым и разрешимым алгебрам Ли. А именно, имеет место теорема Леви-Мальцева:
Теорема 5. В любой конечномерной алгебре JIu g однозначно определяется максимальный разрешимый идеал г. Алгебра g является полупрямой суммой идеала г и максимальной полупростой подалгебры JIu s. Подалгебра s определяется однозначно с точностью до автоморфизма алгебры д.
Глобальный аналог этой теоремы формулируется таким образом.
Теорема 6. В связной односвязной группе Ли G однозначно определяется максимальная разрешимая инвариантная подгруппа R. Группа G является полупрямым произведением инвариантной подгруппы R и максимальной полупростой подгруппы Ли S. Подгруппа S определяется однозначно с точностью до автоморфизма группы G.
