Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 2. Неприводимые конечномерные представления нильпотентной связной группы Ли G одномерны и тривиальны: T(g) = 1 для всех ge G.
Следствие 3. Линейная нильпотентная связная группа Ли изоморфна подгруппе группы верхних треугольных матриц фиксированной размерности с единицами на главной диагона-
Следствие 4. Нильпотентная алгебра Ли (нильпотентная группа Ли) имеет нетривиальный центр.
Следствие 5. Если 0 — линейная нильпотентная алгебра Ли, то существует положительное целое число п, для которого X1X2-..Xn = 0 при произвольных элементах X1, X2,... ,Xn из 0.
Следствие 6. Нильпотентная алгебра (группа) Ли разрешима.
Исходя из свойств разрешимой и нильпотентной алгебр Ли, несложно доказать такое утверждение: алгебра Ли 0 разрешима тогда и только тогда, когда производная алгебра д' = [0,0] нильпотентна. Глава 4
Полупростые и аффинные алгебры Ли
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли
1.1. Билинейная форма Киллинга. Пусть g — алгебра Ли (комплексная или вещественная). Билинейную форму
В(Х, Y) = Tr(adX ad F), X, Y Є 0,
на 0, где ad — присоединенное представление алгебры д, называют формой Киллинга. Форма В(Х, F) симметрична, то есть
B(X1Y) = B(Y1X).
Из того, что ad[X, F] = ad X ad F — ad F ad X, легко выводится, что для всех X, F, Z Є 0 имеем
В(Х, [F Z]) = B(Y, [Z, X]) - B(Z, [X, F]). (1.1)
Пусть <т — автоморфизм алгебры д. Тогда (ad <jX)Y = = cr(adX)cr_1F для любых X, Y Є 0. Поэтому
Tr(ad аX ad crY) = Tr(o- • ad X ad F - c"1) = Tr(adX adF),
то есть форма Киллинга инвариантна относительно <т:
B(crX, O-F) = В(Х, F), с є Aut д. (1.2)
Если G — группа Ли с алгеброй Ли д, то элементы g Є G определяют внутренние автоморфизмы Adff в 0. Поэтому из (1.2) получаем
B(X,Y) = B(AdffX,AdgF), X,F Є 0. (1.3) § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
347
Если G — линейная (матричная) группа Ли, то из свойств следов вытекает, что билинейные формы
Bxfl(XtY) = Л Tr XF +/Lt(TrX)(TrF), X5Fe0, (1.4)
где А и /Lt — числа, инвариантные относительно Adff, g(= G-Можно показать, что всякая инвариантная относительно группы G билинейная форма на д имеет вид (1.4).
Линейная связная группа Ли G связана со своей алгеброй Ли 0 экспоненциальным отображением: G = ехр д. Поэтому, если все матрицы из д имеют нулевой след, то след матриц из G равен единице. Из (1.3) и (1.4) вытекает, что для таких алгебр Ли форма Киллинга имеет вид
B(X,Y) = ATrXF, (1.5)
где А — фиксированное число.
Как каждая билинейная форма, форма Киллинга задается матрицей в некотором базисе. Пусть Xi,... ,Xn — базис алгебры Ли 0, a Cij- — ее структурные константы:
[Xi, Xj-] = ^2 CtIjXk- -к
Легко проверить, что для элементов матрицы (Jbij)t задающих форму Киллинга, имеем
П Ti
bij = B(Xit Xj) = CkimCfk- (1.6)
fc=l m=l
Пример 1. Пусть gl(n, С) и g[(n,R) — алгебры Ли, состоящие соответственно из всех комплексных и вещественных матриц размерности п. Матрицы
Eijt 1 г? i, j г? п,
с матричными элементами (Eij)st = SisSjt образуют базис в g((n,C) и в g[(n,R). Подставляя в (1.6) структурные константы для этого базиса, проверяем, что форма Киллинга этих алгебр Ли задается формулой
B(XtY) = гпТгХУ - 2(ТгЛ:)(ТгУ). 348
Глава 2,
Пусть sf(n, С) и sf(n, R) — подалгебры Ли соответственно в flf(n, С) и {j[(n, R), состоящие из матриц с нулевым следом. Форма Киллинга на них имеет вид
B{X,Y) = 2nTr XY.
Форма Киллинга во многом определяет структуру алгебры Ли 0 и наоборот. Покажем это на нескольких примерах. Пусть 0х — множество всех элементов из 0, ортогональных ко всем элементам X Є д относительно формы Киллинга. Тогда 0х — линейное подпространство в д. Если Y Є 0х, а X, Z є 0, то согласно (1.1)
B([X,Y],Z) = B{Y,[Z,X]) = 0.
Таким образом, [X, Y] є 0х, а потому 0х — идеал в д.
Пусть j — идеал в д. Тогда [g, j] с j. Отсюда легко следует, что форма Киллинга на j совпадает с ограничением на j формы Киллинга на д. (Докажите это самостоятельно.)
Пусть до — вещественная алгебра Ли, ад — ее комп-лексификация. Рассматривая д как вещественную алгебру Ли удвоенной размерности, получаем вещественную алгебру Ли, которую обозначим через дд. Формы Киллинга на д, до и дд обозначим соответственно В, Bq и Br. Предлагаем читателю доказать такое утверждение.
Утверждение 1. Форма Bq является сужением на до формы В:
Bq(X,Y) = B(X,Y), X,Y Є до-Форма Br связана с формой В формулой
Br(X, Y) = 2ReB(X, Y), X, Y є дд-
Теорема 1. Алгебра JIu g разрешима тогда и только тогда, когда В{Х,Х) = О для всех X Є g.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [63]. § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
349
1.2. Полупростые и простые группы и алгебры Ли.
Алгебру Ли 0 называют полупростой, если форма Киллинга иевырождена на ней, то есть если из В(Х,Х) = 0 вытекает X = 0. Последнее означает, что определитель матрицы, задающей форму В(-, •), отличен от нуля. Следовательно, алгебра Ли 0 со структурными константами с^-, i, j, к = 1,2,... , п, полупроста тогда и только тогда, когда
det IIM?,;=!^ 0,
