Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.
а.
'23
Как видно из рис. 9, элементы группы Вейля отражают корни в корни, то есть группа Вейля — это группа симметрий системы корней. § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
361
.Заметим, что зеркальное отражение точки 7 = (ві,в2,вз), 01+02 + -+O3 =0, относительно прямой, перпендикулярной К корню CXij, аналитически задается формулой
W (1Л6>
(a,j, Ctij)
где (-, •) — скалярное произведение двух векторов.
Аналогичная ситуация имеет место для произвольной комплексной полупростой алгебры Ли 0, с той разницей, что мы не можем весь процесс изобразить графически в плоскости. Сформулируем соответствующие утверждения.
Пусть алгебра Ли g имеет ранг I, at) — ее подалгебра Картана. Роль плоскости на рис. 9 для алгебры 0 играет вещественное линейное пространство \)'R, натягиваемое на корни алгебры д. Таким образом, t)'R состоит из линейных форм (функций) на f). Если у E i)'R, то формула у (H) = В(Н,Н7), Hef), определяет соответствие элементов из t)'R и t)*. Это соответствие позволяет ввести билинейную форму (скалярное произведение)
(у,у') = В(Щ,Ну), y,y'et)'R,
на t)'R. Из сформулированных выше свойств корней и корневых подпространств вытекает, что (7,7)^0 для любых yEt)'R, причем (7,7) = О только тогда, когда 7 = 0. Вещественная размерность \)'R равняется комплексной размерности пространства t), то есть dim t)'R = I. Если а — корень алгебры д, то формула
7-+7 -T2^a, -геЬ'я, (1.17)
(а, а)
определяет «зеркальное отражение» Sa пространства t)'R относительно гиперплоскости, ортогональной к корню а.
Группу, порожденную всеми «зеркальными отражениями» пространства t)'R относительно гиперплоскостей, ортогональных к корням алгебры Ли д, называют группой Вейля алгебры д относительно подалгебры Картана t). Доказывается [17], что группа Вейля конечна. Она является группой сим^ метрий системы корней алгебры д. 362
Глава 2,
Гиперплоскости, перпендикулярные к корням, делят пространство на части, называемые камерами Вейля. Группа Вейля переставляет камеры Вейля между собой.
Поскольку корни имеют свойства симметрии, то в совокупности корней алгебры Ли 0 существует минимальная система корней, с помощью которых, исходя из свойств симметрии, определяются все корни. Такой минимальной системой является совокупность так называемых простых корней. Положительный корень называется простым, если его нельзя представить в виде суммы положительных корней. Из этого определения вытекает, что каждый положительный корень является суммой простых корней с целыми неотрицательными коэффициентами. Таким образом, каждый отрицательный корень является суммой простых корней с целыми неположительными коэффициентами. Линейная комбинация простых корней с положительными и отрицательными коэффициентами одновременно не может быть корнем алгебры.
Пример 6. В алгебре sl(3, С) корни аіг и агз простые. Для положительного корня Qi3 имеем а із = Qi2 +е*2з- Из рис. 9 видно, что группа Вейля алгебры sl(3, С) порождается двумя отражениями путем их умножения, а именно отражениями относительно прямых, перпендикулярных к простым корням.
Оказывается, что факт, сформулированный в примере 6 для алгебры Ли sl(3,C), имеет место для произвольных комплексных полуцростых алгебр Ли g. А именно, группа Вейля такой алгебры порождается отражениями (1.17) относительно гиперплоскостей, ортогональных к простым корням (см. [17]).
Действуя элементами группы Вейля на простые корни, получим все корни алгебры Ли g. С другой стороны, группа Вейля порождается отражениями Sa относительно простых корней. Таким образом, простые корни определяют (через группу Вейля) все корни алгебры д. Значит, простые корни однозначно (с точностью до изоморфизма) определяют алгебру Ли.
Для простых корней справедливы такие утверждения (см. [17]):
а) число простых корней комплексной полупростой алгебры Ли совпадает с рангом алгебры (то есть с комплексной размерностью подалгебры Картана); § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
363
б) простые корни линейно независимы;
в) если множество ai,a2,...,aj простых корней алгебры в распадается на два ортогональные относительно билинейной формы (a,?) = B(Ha,H?) подмножества Cij1,... ,Qim и Oj1,... ,Oijn, тп + п = I, то алгебра Ли 0 разлагается в прямую сумму двух полупростых подалгебр Ли gi и 02, являющихся идеалами в 0,
при ЭТОМ Ctj1,... ,Ctim - простые корни подалгебры 01,
a Oijl,... ,Ojn — подалгебры 02;
г) при умножении всех простых корней алгебры Ли 0 на одно и то же вещественное число получим систему простых корней алгебры Ли, изоморфной 0.
Замечание. Пусть д — комплексная полупростая алгебра Ли, а G — группа внутренних автоморфизмов алгебры д. В G существует подгруппа W, оставляющая на месте подалгебру Картана fj, переставляя ее элементы. Путем отображений a —> Ha корни можно вложить в t). Действуя в fj, группа W действует на Ha так, как группа Вейля. Поэтому W также называют группой Вейля алгебры д. Другими словами, группу Вейля можно вложить в группу автоморфизмов алгебры Ли д.
