Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Однако существуют свойства ограниченных корней, отличные от свойств корней комплексных полупростых алгебр Ли. Например, корневые подпространства Qq не обязательно одномерны. Размерность подпространства gjj называют кратностью ограниченного корня X. В отличие от комплексного случая, могут существовать кратные корни, отличные от А и —А. Доказывается, что кратными ограниченными корнями могут быть 2А, А, —А, —2А (или, что то же самое, А, А/2, —А/2, —А). Однако для некоторых вещественных полупростых алгебр Ли корень 2А может не существовать.
Как и в комплексном случае, система ограниченных корней допускает симметрии. Эти симметрии описываются группой Вейля пары (до, а). Она описывается так же, как в комплексном случае. А именно, каждому ограниченному корню А соответствует «зеркальное отражение» S\ в пространстве а*, состоящем из вещественных линейных форм на а:
Скалярное произведение (?,X) в а* определяется с помощью формулы (/и, А) = В(Hll, Hx), где Hft є а задается равенством В(Нц,Н) = ц(Н), H Є а. Поскольку В(Н,Н) > 0 384
Глава 2,
для H Є a, H ф 0, то билинейная форма (fi, Л) на а* является скалярным произведением.
Группу, порожденную отражениями S\ относительно всех корней Л пары (до, а), называют группой Вейля пары (до, а) и обозначают W(a). Группа W(а) является группой симметрий системы ограниченных корней, включая их кратности. А именно, если А — корень пары (до, а) и w є W^(o), то wX — также корень пары (до, а), имеющий ту же кратность, что и А.
Если I — вещественный ранг алгебры Ли д0, то I положительных корней Ai1A2,... ,А/ называют простыми, если каждый ограниченный корень является линейной комбинацией корней Ai5A2,... ,А/ с целыми неотрицательными (для положительных корней) или целыми неположительными (для отрицательных корней) коэффициентами.
Действуя на простые корни элементами группы Вейля и беря, если необходимо, удвоенные корни, получим систему всех ограниченных корней пары (g, а). Чтобы учесть кратности, необходимо для каждого простого корня А,- указать кратности корней Xi и 2Ai.
Систему ограниченных корней пары (go, а) можно получить из системы корней комплексификации д алгебры до- Для этого расширим а до подалгебры Картана fj == Qc + tjo (сумма прямая, а ос — комплексификация алгебры а) комплексной алгебры д. Пусть Д — множество всех корней алгебры g относительно подалгебры Картана I). Выберем в I) базис так, чтобы он содержал в себе базисные элементы подалгебры о и чтобы они стояли первыми в этом базисе. Пусть P — множество положительных корней из Д относительно этого базиса. Разобьем P на две части: Р+ и P-, причем в P-включаем те корни из Р, которые превращаются в нуль при ограничении на а. Теперь рассмотрим корни из Р+ как линейные формы на подпространстве а. При этом некоторые корни a E P+ будут совпадать на а. Полученные линейные формы на а и являются системой ограниченных корней пары (go, а) с учетом кратностей. Кратность ограниченного корня А (или 2А) равняется количеству корней алгебры д, которые при ограничении на а переходят в А (или в 2А). Из алгебры g можно получить подпространства g[J и gjj, входящие в разло- §3. Вещественные формы
385
жение (3.5). А именно, подпространство 0§ совпадает с
if)+ Y 00 + Yl е-а >Пв°>
аЄР- аЄР- J
где 0Q — корневые подпространства комплексной алгебры 0, принадлежащие корню а. Подпространство 0р совпадает с пересечением с 0о суммы тех корневых подпространств 0О алгебры Ли 0, для которых ограничения а на а совпадают с Л.
Пример 5. В примере 2 мы нашли разложение Картана алгебры Ли st(n,R). В роли а выбираем множество всех диагональных матриц из р. Комплексификацией алгебры sl(n,R) является si(n, С). При этой комплексификации подалгебра а переходит в подалгебру Картана fj алгебры sl(n, С). Поэтому в а и fj можно выбрать общий базис. Чтобы получить ограниченные корни пары (si(n,R),a), необходимо сузить на а корни комплексной алгебры sl(n, С). Ясно, что при этом разные корни алгебры sl(n, С) перейдут в разные ограниченные корни пары (sl(n, К), а). Следовательно, корневая система пары (sl(n, R), а) совпадает с корневой системой комплексной алгебры si(n, С). Легко видеть, что и корневые подпространства в sI(n,R) и в st(n, С) имеют те же самые базисные элементы Eij, і ф j.
Пример 6. Пусть 0л — комплексная полупростая алгебра Ли д, рассматриваемая как вещественная удвоенной размерности. Форма Киллинга положительно определена на подалгебре f)* (см. п. 1.3). Поэтому t)m С р и эту подалгебру можно взять за подалгебру а. Пусть
H1, H2,... , Щ, Efll,... , Epm
— базис Картана-Вейля комплексной алгебры д, причем Hj Є f)*. Тогда
Hj, і Hj = Hj, I^j ^l-, E0j, iE0j = Eflj, 1 ^m
— базис вещественной алгебры Ли дд. Ясно, что
[Hj, E?k] = ?k(Hj)E?k, [Hj, E?k] = Pk(Hj)E0k-
Поскольку Hk и Hk коммутируют, то отсюда делаем вывод, что корневая система пары (дд, t)*) совпадает с корневой системой комплексной алгебры Ли д, но кратности всех корней равны 386
Глава 2,
двум. Корневые подпространства натягиваются на базисные элементы E?k и Epk.
