Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 112

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 154 >> Следующая


а(Х + ІГ) = X - ІУ, X.Y Є 0о, T(X + iY)=X-iY, X, YGgk.

Отображения а и т являются антилинейными автоморфизмами, то есть они отличаются от обычных автоморфизмов только тем, что вместо линейности автоморфизмов имеем антилинейность

а(аХ + bY) = аа(Х) + Ia(Y), т(аХ + bY) = ат(Х) + br(Y),

где a, b Є С, X, Y Є д. Кроме того, а2 = т2 = 1 и ат = та.

Отображение в = ат является автоморфизмом алгебры Ли 0, называемым инволютивным автоморфизмом Картана2. Он играет важную роль в теории полупростых алгебр Ли и симметричных римановых пространств. Автоморфизм в оставляет на месте подалгебры 0О и 0*. Поэтому он является также автоморфизмом в 0о и в д*. Легко видеть, что, действуя на 0о = 6 + р и 0A = E + ip, он оставляет на месте элементы из E и умножает элементы из р и ір на — 1.

Наоборот, пусть в — инволютивный автоморфизм компактной алгебры Ли 0*. Тогда в имеет два собственных значения — ±1. Если t' и q' — соответствующие собственные подпространства, то 0* = 6' + q', 6' + iq' — вещественная некомпактная форма комплексной алгебры Ли 0 и f + р, где р = iq' — ее разложение Картана.

2Автоморфизм ip называют инволютивным, если <р2 = 1. §3. Вещественные формы

381

Таким образом, существует соответствие между вещественными некомпактными формами комплексной полупростой алгебры Ли 0 и инволютивными автоморфизмами ее компактной вещественной формы. Такое соответствие и было использовано для классификации вещественных форм комплексных полупростых алгебр Ли (см. [17]). Эту классификацию мы сформулируем далее, используя понятие ограниченных корней вещественных полупростых алгебр Ли.

3.3. Ограниченные корни и корневые подпространства Пусть 0, 0о, в — такие, как выше, а B(-t •) — форма Киллинга на 0О.

Утверждение 1. Прямое разложение 0О = 6+р является разложением Картана алгебры JIu 0о тогда и только тогда, когда отображение X + Y—tX —YtXet, Ye р, является автоморфизмом алгебры 0о, B(XtX) < 0 для X Є f, X ф О, и B(YtY) > 0 для Y Є р, Y ф 0.

Доказательство этого утверждения см. в [63], гл. 3.

Введем В 00 билинейную форму

(X,Y) = -B(Xt6Y), XtYe 0о, (3.3)

где в — инволютивный автоморфизм Картана. Поскольку вХ = X при X Є t и OY = -Y при Y Є р, то из утверждения 1 вытекает, что (•, •) — положительно определенное скалярное произведение на 0о-

Задача 1. Используя то, что вХ = X при XetH OY = —У при Y Є р, покажите, что

[f,t]ct, [1,р] С р, [Met. (3.4)

Пример 4. Пусть дя — комплексная полупростая алгебра Ли д, рассматриваемая как вещественная алгебра Ли удвоенной размерности, a Qk — компактная вещественная форма алгебры Ли д. Из утверждения 1 вытекает, что 0я = 0* + І0* является разложением Картана для 0д.

Пусть а — максимальная коммутативная подалгебра в р. Доказывается (см. [63]), что все максимальные коммутативные подалгебры в р имеют одинаковую размерность (они связаны между собой внутренним автоморфизмом алгебры 0О). 382

Глава 2,

Размерность подалгебры а называют вещественным рангом алгебры Ли go-

Утверждение 2. Операторы sAH, H є а, симметричны относительно скалярного произведения (3.3) в д0.

Доказательство. Из формулы (1.1) вытекает, что B((adX)Y,Z) = -B(Y, (ad X)Z). Поэтому при Y Є go и Z Є 6 имеем

{(ad H)Y,Z) = -B((adH)Y,eZ) = -B((adH)Y,Z) =

= B(Y,(adH)Z).

Поскольку H Є p и Z Є 6, то (adH)Z Є р (см. формулу (3.4)). Поэтому

<(ad H)Y,Z) = -B(Y,e{H,Z}) = (У, (ad Я) 2).

Пусть теперь Y Є go и Z Є р. Тогда

((ad H)YZ) = ~B((ad H)Y,6Z) = -B(Y,[H,Z]).

Но согласно (3.4) имеем [Я, Z] Є ?. Поэтому в[Н, Z] = [Я, Z] и

((ad H)Y,Z) = -Я(У,0[Я,2]) = (y(adH)Z).

Утверждение доказано.

Поскольку операторы ad Я, Я Є а, коммутируют друг с другом и симметричны, то они допускают одновременную диагонализацию. Следовательно, до разлагается в прямую сумму собственных подпространств операторов ad Я, Я Є а:

+ (3-5)

А

где ?o — собственное подпространство с нулевым собственным значением для всех операторов ad Я, Я Є а (в частности, а С 0о), a 0о — собственные подпространства с собственными значениями X(H), Я Є а. Ясно, что Л — линейные формы на а. Элементы из разных собственных подпространств ортогональны относительно скалярного произведения (3.3). §3. Вещественные формы

383

Линейные формы Л из формулы (3.5) называют ограниченными корнями алгебры до относительно а или ограниченными корнями пары (до, а). Подпространства gjj называют корневыми подпространствами.

Свойства ограниченных корней и соответствующих корневых подпространств во многом похожи на свойства корней и корневых подпространств комплексных полупростых алгебр Ли. Например, [go,0o] С 0о+/\ если А + ц — корень; [0o,0OA] С gg И [до, до] = {0}, если А + ^^ОиА + ^не являются корнями. Вместе с корнем А обязательно существует корень —А. Ограниченные корни разделяются на. положительные и отрицательные. Для этого необходимо выбрать базис Hi, H2,... ,Hi в а (I — вещественный ранг алгебры до). Корень А положителен (отрицателен), если первое отличное от нуля число в наборе X(Hi),X(H2),... ,A(Hj) положительно (отрицательно).
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed