Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ei--I = Eij-Ejwh іфз, (2.21)
Eij = Ej,i+i - Eij+i, i<j, (2.22)
E-i^ = Еі+и - Ej+lyi, i<j, (2.23)
составляют базис в д. Образуем линейное подпространство Ї) матриц H = OiHi +... + atHh Oj Є С. Эти матрицы исчерпывают все диагональные матрицы в д. Имеем
[Я, E±{-±j] = (±а,- ± , (2.24)
где согласование знаков такое, как в (2.7). С помощью этих соотношений и коммутационных соотношений для элементов (2.21)-(2.23) находим, что д является полупростой алгеброй Ли с формой Киллинга
В(Х, Y) = (21 - 2) Tr XY (2.25)
и с подалгеброй Картана Ї). Корнями этой алгебры Ли являются линейные формы
(Xi -j(H) = Oi - Oj, і ф j, ац(Н) = Oi + Oj, a-i-j(H) = -Oi - Oj, і < j.
Положительными являются корни ait-j, Clij, і < j. Корни ai,_2, аг,-з,... ,«/_!,_/,a/-i,/ образуют систему простых корней. Вычислив длины этих простых корней и углы между ними, находим, что д является комплексной алгеброй Ли Dh Каждому корню а ставим в соответствие вектор
(a(Hi), Oi(H2), ... ,а(Н,))
/-мерного пространства Ї)*. Так же как в п. 2.3 находим, что группа Вейля алгебры Dj является группой всех перестановок координат в векторах (ai,a2,... , aj) Є Ї)* вместе с изменением знаков у четного числа координат.
Заметим, что мы реализовали алгебры Ли JBj и Di так, что подалгебры Картана представляются диагональными матрицами. Понятно, что возможны другие реализации этих алгебр. В частности, возможна реализация, вообще не имеющая диагональных матриц. § 2. Классификация полупростых алгебр JIu
375
2.6. Классификация комплексных простых групп Ли. Как указано в гл. 2, каждой алгебре Ли соответствует хотя бы одна связная группа Ли. Простой (полупростой) алгебре Ли отвечает простая (полупростая) группа Ли. Алгебрам Ли Ai, Bi, Ci, Di сопоставляются соответственно комплексные группы SL(l + 1,С), 50(2/ + 1,С), 5р(/, С) и 50(2/, С), определенные в 5 гл. 2. (Предлагаем читателю доказать этот факт.)
Как известно, алгебре Ли отвечает класс локально изоморфных связных групп Ли. Они получаются из универсальной накрывающей факторизацией по дискретным центральным инвариантным подгруппам. В комплексных полупростых группах Ли центр не только дискретный, но и конечный.
Группы SL(l + 1,С) и 5р(/,С) односвязны. Следовательно, они являются универсальными накрывающими. Легко видеть, что центр группы SL(l + 1,С) — циклическая группа (/ + 1)-го порядка. Он состоит из матриц ai, где I — единичная матрица, а а пробегает решения уравнения xl+1 = 1. Центр группы 5р(/,С) состоит из двух элементов.
Группы 50(2/ + 1,С) и 50(2/, Q неодносвязны. Их универсальные накрывающие называют спинорными группами и обозначают соответственно через Spin(2Z + 1,С) и Spin(2/,C). Они не имеют матричной реализации. Группа Spin(ra,C) дважды накрывает группу 50(га, Q, то есть группа 50(га,С) двухсвязна. Центр группы Spin(2Z + 1,С) состоит из двух элементов. Это означает, что группа 50(2/ + 1,С) не имеет центра. Центр группы Spin(2/, С) является циклической группой четвертого порядка, если / нечетно, и произведением двух циклических групп второго порядка, если / четно. Таким образом, центр группы 50(2/, С) имеет два элемента — ±1, где I — единичная матрица. (Более детально о спинорных группах см. в [10] и [49].)
Алгебрам Ли Ее и Er отвечают универсальные накрывающие группы с центром, имеющим соответственно три и два элемента. Поэтому классы локально изоморфных групп в этих случаях содержат по две группы. Алгебрам Ли E8, F^, G2 отвечают универсальные накрывающие, в которых отсутствует центр. 376 Глава 2,
§ 3. Вещественные формы
3.1. Компактные вещественные формы. Полупростую алгебру Ли д называют компактной, если форма Киллинга отрицательно определена на ней, то есть если В(Х,Х) < О для каждого X Є д, X ф 0.
Теорема 1. Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму.
Доказательство. Пусть 0 — комплексная полупростая алгебра Ли, а Д+ — множество ее ненулевых положительных корней относительно подалгебры Картана Ї). Если CCi5CC2,... ,о/ — система простых корней из Д+, то соответствующие им элементы Hai,Ha2.... ,Hai образуют базис в \]. Для корней сс и —сс выберем корневые векторы Ea и Е-а, для которых В(Еа,Е-а) = 1. Тогда [Еа,Е-а] = Ha є Ї)*. Элементы
Ea, E- а, о Є A+, Hai,... , Hai (3-1)
образуют базис Картана-Вейля в 0. Построим элементы
Ea — Е-а, і(Ea + Е-а), а Є Д+; Ша1,... ,xHai (3.2)
и натянем на них вещественное линейное пространство
і
0* = Y1 № - Я-а) + Y + І?;-«) +
аЄД+ аЄД+ j=l
Используя сформулированные в § 1 свойства корней и корневых подпространств, убеждаемся, что коммутаторы элементов (3.2) выражаются через эти же элементы с вещественными коэффициентами. Поскольку количества элементов в (3.1) и (3.2) совпадают, то 0* — вещественная форма комплексной алгебры Ли 0. Кроме того,
В(Ea — Е-а, Ea — Е-а) = —2, B(i(Ea + Е-а), і(Ea + Е-а)) = -2,
В(Еа - Е-а, i(Ea + Е-а)) = 0, B(iHaj,iHaj) = -C4(Hj) < 0. §3. Вещественные формы
377
Поскольку В(Е±а, E±?) = 0 при ±а ± ? ф 0 (рассматриваются четыре комбинации знаков), то форма В отрицательно определена на д*. Поэтому — компактная вещественная форма алгебры Ли д. Теорема доказана.
