Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2,
Это означает, что при а Ф —? имеем [Еа,Ер] є g„+/3 или [Ea,E?] = 0, и [Ес,Е-а] Є I).
Чтобы доказать свойство г), выберем EaG да и Epe др. Tob да ad Ea ad E? отображает g7 в ga+?+y. Поскольку а+? ф О, то да+/3+-уП д7 =0. Поэтому, если записать оператор a.dEa a,dE? в базисе, состоящем из базисов корневых подпространств, то станет очевидным, что
Tr (ad Eq ad E?) = B(Ea,E?) = 0.
Доказательство других свойств можно найти, например, в [63].
Корневые подпространства одномерны. Выберем в каждом из них элемент Ea так, чтобы выполнялось условие В(Еа,Е-а ) = 1. Выберем также базис Ні,Яг,... ,Щ в подалгебре Картана 1)(1 — ранг алгебры д), для которого числа Cc(Hi) вещественны для всех корней а. Тогда элементы
Hi,... ,Ни Efi1,... ,E?k, (1-Ю)
где ?i,... ,?k — все корни алгебры g относительно f), образуют базис в д. Исходя из сформулированных выше свойств корней и корневых подпространств, коммутационные соотношения для этого базиса записываются в виде
[Hi5HiJ = O, i, j = 1,2,..., I, (1.11)
[Ні, E?j] = ?j(Щ)E?}, і = 1,2,... , /; j = 1,2,... , к, (1.12)
[E?i,E-?i]=H?i, г = 1,2,... ,к, (1.13)
[El3i,El3j] = Nfiitl3jEfi^fij, і ф j. (1.14)
Базис (1-Ю) комплексной полупростой алгебры Ли g с такими коммутационными соотношениями называют базисом Картана-Вейля.
Ясно, что условие В(Еа, Е—а ) = 1 не фиксирует однозначно элементы Ea и Е-а. Допустимая произвольность в выборе Ea И Е-а приводит К произвольности В выборе чисел Nfiitfij в (1.14). Одна из возможностей такая. Пусть вместе с корнем ?j корнями алгебры Ли g являются
?j - P?i, ?j~(p- 1)/?, ...,?j + (q~ 1 )?i, ?j + q?i,§ 1. Полупростые группы и алгебры JIu
359
TlAep и q — целые неотрицательные числа, причем ?j—(p+l)?i и ?j + (9 + 1 )?i не являются корнями (можно показать, что тогда ?j — s?i, s > р + 1, ?j + t?i, t > q + 1, также не могут быть корнями). Если требовать, чтобы числа Np.tp. из (1.14) удовлетворяли условиюN?it?. = -N-Pi-Pj, то они будут определяться однозначно с точностью до знака и
Nli?j = -q^±B{H?i,H?}).
Можно показать, что здесь B(HpnHpi) ^ 0. Если же требовать, чтобы Npi^pj были целыми числами, то Npitp. = ±(р+1). Доказательство этих утверждений можно найти, например, в [17].
Числа Npi^pj имеют другие интересные свойства. Например, если а + ? + 7 = 0, то Nap = Npry = JV7a. Если а + ? + + 7 + S = 0, то NapN^s + NpryNaS + N^aNps = 0. Используя эти и другие свойства этих чисел, выводится, что комплексная полупростая алгебра Ли g определяется (с точностью до изоморфизма) своими корнями. А именно, с помощью корней восстанавливается форма Киллинга В(-,-). Корни определяют также подалгебру Картана t). Корни и форма B-, •) задают элементы Ha Є fj и числа Na?. Все это определяет коммутационные соотношения (1.11)-(1.14). Далее увидим, что множество корней алгебры g определяется частью корней, а именно, так называемыми простыми корнями, к определению которых мы переходим.
1.4. Симметрии в множестве корней. Простые корни. Как отмечалось выше, вместе с корнем а комплексная полупростая алгебра Ли g имеет корень —а. Это позволяет разделить корни на положительные и отрицательные. Для этого фиксируется базис Hi, H2, - - ¦ ,Щ (I — ранг алгебры Ли д) подалгебры Картана t). Тогда корни а однозначно определяются ^-мерными векторами:
a ^a(H1), а(Н2),..., Ct(Hl)). (1.15)
Корень а считаем положительным (отрицательным), если первое отличное от нуля число в (1-15) положительное (отрицательное). Ясно, что набор положительных корней определяет набор отрицательных корней, а потому и набор всех360
Глава 2,
корней алгебры. Из построения ясно, что разделение корней на положительные и отрицательные зависит от выбора базиса
Совокупность корней алгебры Ли g имеет свойства симметрий. Сначала объясним их на примере алгебры sl(3,C).
Пример 5. Корни алгебры sl(n, С) найдены в примере 4. Алгебра sl(3, С) имеет шесть корней
где -Ctij = Ctji- Первые три корня положительны, остальные — отрицательные. Алгебра Ли sl(3, С) имеет ранг 2. Значит, корни характеризуются двумерными векторами (q(JSh—JS22), а{Е22~Езз)). Однако нам удобнее характеризовать их векторами
в трехмерном пространстве, для которых ві + в2 + «з = 0. Последнее условие определяет необходимое двумерное пространство. Положительные корни O12 Q23, <*із определяются векторами
oi2 м- (1, -1,0), q23 h+ (0,1, -1), «13 h+ (1,0, -1).
Корни ±ау изображают графически на плоскости а\ + «2 + аз = 0 трехмерного пространства (рис. 9). К каждому корню проведем перпендикулярную ему прямую, проходящую через начальную точку (на рнс. 9 эти прямые показаны штриховыми линиями). Зеркальные отражения относительно этих прямых порождают группу отображений плоскости в себя. Эту группу называют группой
Bi).
o12, q23, «із, —q12, —q23, — с*13,
(«1, 02, аз) = (q(-Eii), q(.E22), о(.Езз))
13
Вейля алгебры Ли sl(3, С). Она имеет шесть элементов. Прямые, перпендикулярные корням, делят плоскость на шесть частей (камер Вейля). Элементы группы Вейля транзитивно переставляют эти части между собой.