Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для двух простых корней сц и Ctj рассмотрим число qij, задаваемое формулой gtJ- = — 2(сц, ocj)/(cij, cxj). Поскольку ((Xj,a.j) > 0, a (CXiiCXj) ^ 0 (об этом свидетельствует матрица Картана), то q^ ^ 0. Кроме того, q^ — целые числа. Проведем через оц и QLj плоскость и рассмотрим выражение
_ 4(gj4 QiXaf, а,) 43x4x3 (ai,a<)(aj,aj) '
Из аналитической геометрии известно, что это выражение равняется 4 cos2 0, где в — угол между корнями сц и cxj. Поскольку (а<,ал)^0, то в ^ 90°. Ясно, что 4 cos2 0 < 4 (при 4 cos2 0 = 4 имели бы cos в = ±1, что означало бы, что ач и CLj лежат на одной прямой, а это невозможно). Поскольку qij и qji — целые числа, то 4 cos2 в равняется одному из чисел 0,1, 2,3. Поэтому в является одним из углов 90°, 120°, 135° и 150°.
Каждый простой корень условимся обозначать кружочком. Каждую пару корней не соединяем или соединяем одной, § 2. Классификация полупростых алгебр JIu
367
двумя, тремя линиями в зависимости от того, равняется ли угол между корнями 90°, 120°, 135° или 150° соответственно:
о о 90°. »—о 120°, <¦==¦> 135°, •=> 150°.
Этот способ обозначения предложен Е. Д. Дынкиным и принят в математической литературе. Дынкин доказал (см., например, [17]), что возможны такие связные системы простых корней:
Серия A1 (/=1,2,3,...)
Серия B1 (/=2,3,4,...)
Серия C1 (/=3,4,...)
Серия D1 (/=4,5,...)
F 2 2 2 2 2
C6 S—о—о—о—о h
F 2 2 2 2 2 2
Числа над простыми корнями (кружочками) равны квадратам длин соответствующих корней (они выбраны с точностью до общего множителя). Другие связные системы простых корней невозможны. Приведенные схемы простых корней называют схемами Дынкина. Для каждой из этих схем построена соответствующая ей простая алгебра Ли. Комплексные простые алгебры Ли, соответствующие разным схемам Дынкина, неизоморфны.
Таким образом, неизоморфные простые комплексные алгебры Ли исчерпываются четырьмя-бесконечными сериями (классические алгебры Ли) и пятью особыми алгебрами Ли. Их обозначают теми же индексами, что и соответствующие схемы Дынкина:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 11
3 1
A1, I = 1,2,3,...; B1, I = 2,3,4,...; C1, / = 3,4,5,...; D1, I = 4,5,6,... ; E6, E7, E8, F4, G2. 368 Глава 2,
2.2. Алгебра Ли Aj. Покажем, что алгеброй Ли Ai является алгебра sl(n,C) при п = I + 1. Как мы видели, форма Киллинга этой алгебры задается формулой
B(X,Y) = Tr (ad X ad Г) = 2(1 + 1) TrXF.
Подалгебра Картана натягивается на матрицы Eii — _E,-+ljl+1, і = 1,2,... ,1. Следовательно, ранг этой алгебры равен 1 = п—1. Корни aij алгебры sf(n,C) определяются формулой
CiiJfa1E11 + ... + (InEnn) = ai - aj, ат Є С.
Корни aij, і < j, положительны. Корни аі2,агз,... ,a„_i-n простые.
С помощью формулы
B(Haij,H) = aij(H) = Oi- aj
находим, что корню aij в подалгебре Картана соответствует элемент
Ha^ = 2(iTT)(Eii-Ejj)-
Учитывая, что угол между корнями а и ? определяется по формуле
2 л_ (<*,?)(?,a)
COSz 6=-
(a,a)(?,?)
и что (а,?) = B(HQ,H?), легко найти, что между простыми корнями a^i+x и aj+i^+2 (і = 1,2,... , n — 2) угол равен 120°, а между остальными парами простых корней — 90°. Сравнивая этот результат со схемой Дынкина алгебры Ли Ai, выводим, что sl(Z 4- 1,С) является алгеброй Ли Ai-
Хотя подалгебра Картана алгебры si(I 4- 1,С) имеет размерность I, однако корни этой алгебры удобно вложить в (/+1)-мерное векторное пространство. А именно, корню ay-ставим в соответствие вектор
(ayCEn), Oij(E22),... ,Ciij(Enn)). § 2. Классификация полупростых алгебр JIu
369
Ясно, что при таком вложении корни располагаются в Z-мер-ной гиперплоскости ?i + O2 + ... + oj+1 = 0. Единичные орты (0,... , 0,1,0,..., 0) в К<+1 обозначим через е», где і указывает, что единица стоит на г-м месте. Тогда корни a,j можно представить в виде векторов
CXij — Bi — .
Группа Вейля W алгебры Ли sl(l + 1,Q действует в вещественном пространстве
I)* = {aiei + ... + a/+ieJ+i j аі + ... + at+1 = 0},
натянутом на корни. С помощью формулы (1.17) легко находим, что корню a = Oij отвечает отражение Sa, которое, действуя на векторы (ai, аг,. • - , «j+i) Є f)*, переставляет координаты а,- и aj. (Докажите этот факт самостоятельно.) Следовательно, группа Вейля W алгебры Ai = si (I + 1,С) совпадает с симметрической группой Si+l.
2.3. Алгебра Ли Bi. Пусть g — линейное пространство комплексных матриц А размерности 21 + 1, для которых выполняется условие
As = -sAT, (2.1)
где T — транспонирование и
Здесь Ij — квадратная единичная матрица размерности I. Представим матрицы А Є 0 в таком же виде, как матрицу s:
A =
an V1 V2 \
U1 ац а12 I
U2 «21 0,22/
где Ui И U2 — столбцы высоты I, V1 и V2 — строки длины I, ац — число, a Oij — квадратные матрицы размерности I. 370
Глава 2,
Тогда условие (2.1) означает, что
ац =0, U1 = —v2, U2 = -Vi
«22 = —«Гп «?2 = «12, «21 = ~«21-Исходя из этого, находим, что множество матриц
Hi = Ei+i,i+i -Ei+i+ij+i+i, і = 1,2,... ,I, (2.2)
= ®J+1,«+1 - ^i+J+l.j+f+lj І Ф І) (2-3)
В"4 'і = Ei+1+ij+i - і < з, (2.4)
