Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выбор подалгебры Картана ї) в комплексной полупростой алгебре Ли g неоднозначен. Разные подалгебры Картана связаны внутренним автоморфизмом алгебры g (см. теорему 7 в 1). Внутренний автоморфизм связывает базисы Картана-Вейля, построенные относительно соответствующих подалгебр Картана, а следовательно, и соответствующие компактные вещественные формы. Справедлива такая
Теорема 2. Если gfc и д'к — две компактные вещественные формы комплексной полупростой алгебры JIu д, то существует внутренний автоморфизм д, переводящий gk в Qk-
Доказательство этой теоремы приведено, например, в [63]. Согласно этой теореме комплексная полупростая алгебра Ли с точностью до внутреннего автоморфизма имеет одну компактную вещественную форму.
Пример 1. Матрицы
Eij, і ф j, Eii — Ei+iti+i, і = 1,2,... ,п — 1,
образуют базис Картана - Вейля простой алгебры Ли sl(n, С). Значит, матрицы
у/-1(Ец - Ei+iti+1), і = 1,2,... .п - 1, Eij - Eji, у/^ї(Eij + Eji), і ф j,
образуют базис ее компактной вещественной формы. Все эти матрицы косоэрмитовы и имеют нулевой след. Более того, всякую косоэрмитову матрицу размерности п с нулевым следом можно представить как вещественную линейную комбинацию этих матриц. Таким образом, компактная вещественная форма алгебры Ли sl(n, С) состоит из всех косоэрмитовых матриц размерности п с нулевым следом, то есть является алгеброй Ли su(ra).
Справедливо также такое утверждение: компактная вещественная форма gfc комплексной полупростой алгебры JIu g является ее максимальной компактной подалгеброй. Справедливо и обратное утверждение. 378
Глава 2,
Пусть теперь G — комплексная связная полупростая группа Ли с алгеброй Ли g, а К — ее максимальная компактная подгруппа. Пусть д/. — подалгебра в д, соответствующая подгруппе К. Поскольку компактной подалгебре Ли отвечает компактная подгруппа, и наоборот, то 0* — максимальная компактная подалгебра в 0. Поэтому 0* — компактная вещественная форма алгебры 0, а К — компактная вещественная форма группы G. Максимальные компактные подгруппы группы G связаны между собой внутренним автоморфизмом (доказательство см. в [63]).
Таблица 2
Алгебра Ли 0 Комплексная группа Ли G Максимальная компактная подгруппа в G
A1 SL(l + l,C) SU(l +1)
B1 50(2/ + 1, С) SO (21 +1)
Ci Sp(IX) Sp(I)
D1 SO (21, С) 50(2/)
В таблице 2 для каждой из классических комплексных простых групп Ли приведены их максимальные компактные подгруппы.
3.2. Разложение Картана вещественных полупростых алгебр Ли. Пусть 0О — полупростая некомпактная вещественная алгебра Ли, а 0 — ее комплексификация. Пусть 6 — максимальная компактная подалгебра в 0О. Разложение 0о = 6 + р алгебры 0о в прямую сумму подалгебры 6 и векторного подпространства р называют разложением Картана, если Qk = 6-Ир, і — л/—Ї, является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли д. Ясно, что 0*Г10о = t И 10Й П 00 = р.
Доказывается (см., например, [63]), что каждая полупростая некомпактная вещественная алгебра Ли 0О имеет разложение Картана. Кроме того, если 0О = 6i + pi и 0О = h +р2 — два разложения Картана алгебры Ли 0о, то существует внут- §3. Вещественные формы 379
ренний автоморфизм <р алгебры до, такой что
?>(ti) = 12, V> (Pi) = Р2*
Наоборот, если до = t + р — разложение Картана алгебры 0о, а ф — ее внутренний автоморфизм, то д0 = ф(Ъ) + ф(р) — также разложение Картана.
Пример 2. Пусть д0 = s((n,R). Тогда g = s((n,C). Алгебра Ли su(n) является компактной вещественной формой алгебры Ли sl(n, С). Пересечение
t = Во П su(n) = s((n, R) П su(n)
натягивается на матрицы Eij- Eji, і < j, то есть является алгеброй Ли so(n) группы Ли SO{n). Пересечение
P = 00 П V=Tsu(n)
состоит из вещественных линейных комбинаций матриц
Eij + Eji, і < j, Eu — Ei+1,4+1, і = 1,2,... , п — 1.
Следовательно, р состоит из всех симметрических вещественных матриц с нулевым следом. Очевидно, что
su(n) П р = {0}, dimso(n) + dimp = dims((n,R) = dimsu(n).
Поэтому su(n) = so(n) + V—їр и sl(n,R) = so(n) +p — разложение Картана алгебры Ли s((n, R).
Имеет место глобальный аналог разложения Картана. А именно, справедлива такая
Теорема 3. Пусть G — связная полупростая некомпактная группа JIu с конечным центром, ад0 — ее алгебра JIu. Пусть К — максимальная компактная подгруппа в G, а 6 — соответствующая ей подалгебра в д0. Если до = 6 + р — разложение Картана алгебры д0 и & — образ линейного подпространства р при экспоненциальном отображении д —> ехрд, то G = К SP, где черта обозначает замыкание.
Пример 3. Продолжим рассмотрение примера 2. В этом случае G = SL(n,R), К — SO(n), а & = ехрр совпадает с множеством 380
Глава 2,
вещественных эрмитовых матриц с единичным определителем. Следовательно, глобальное разложение Картана группы SL(n, R) является разложением произвольной вещественной матрицы с единичным определителем в произведение ее ортогональной и эрмитовой частей.
Пусть go» 0 и Bk — такие, как выше. Тогда 0 = 0о + i?o = Bk + i0fc, і = VcT,
где суммы прямые. Эти разложения определяют сопряжения алгебры 0 относительно 0О и 0*:
