Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теорем 5 и 6 можно найти, например, в [48].
1.3. Подалгебра Картана. Корни и корневые подпространства. Пусть g — полупростая алгебра Ли. Максимальную коммутативную подалгебру t) алгебры g называют ее подалгеброй Картана, если для любого H Є і) оператор ad ff, действующий в g, полупростой (см. п. 7.1 гл. 1). § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
355
Теорема 7. Каждая полупростая алгебра Ли имеет подалгебру Картана. Если f)i и f)2 — две подалгебры Картана комплексной полупростой алгебры Ли д, то существует внутренний автоморфизм а алгебры д, такой что crf)i = t}2.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [63].
Подалгебры Картана имеют важное значение для изучения структуры полупростых алгебр Ли и их конечномерных представлений. В частности, они используются при выводе классификации полупростых алгебр Ли. Такая классификация приведена ниже. Мы покажем, какие размышления приводят к этой классификации, опуская детальные доказательства (за полными доказательствами отсылаем читателя к монографии [17]).
Ниже в этом параграфе д обозначает комплексную полупростую алгебру Ли. Пусть t) — ее подалгебра Картана. Комплексную размерность подалгебры f) называют рангом алгебры Ли ?. Все операторы ad Н,Н Є f), являются полупростыми и коммутирующими. Поэтому из результатов п. 7.1 гл. 3 вытекает, что эти операторы имеют полный набор общих собственных векторов. Другими словами, в алгебре g существует базис Xi,X2,... ,Xn, такой что для всякого H Є і) имеем
(ad Н)Хі = [Н, XiI = Pi(H)Xi, і = 1,2,..., п.
Собственные значения ?i(H) являются линейными формами (функциями) на подалгебре Картана. Действительно, с одной стороны,
(ad(aiHi + а2Н2))Х{ = /^a1H1 + а2Н2)Хи ах,а2 Є С,
а с другой —
(ad(o!#i + a2H2))Xi = Ia1H1 + O2H2jXi] = = аі[Яі,Хі] + о2[Н2,Хі] = Oi(SAHi)Xi + O2(SAH2)Xi = = (Oifc(H1)-^a2Pi(H2))Xi.
Поэтому ?i(oiH1 + O2H2) = O1Pi(H1) + a2?i(H2). 356
Глава 2,
Поскольку элементы H Є I) коммутируют друг с другом и I) — максимальная коммутативная подалгебра в д, то базис Xi,X2,... ,Xn алгебры д содержит в себе базис подалгебры t) и только для базисных элементов Xi Є t) выполняются тождества ?i(H) = O1H Є f). Из этих фактов выводим, что g представляется в виде прямой суммы собственных подпространств операторов ad Я, H Є f):
8 = & + Х)8а, (1-9)
аф О
где а — ненулевые линейные формы на f), а да — соответствующие собственные подпространства. Ясно, что f) — собственное подпространство, принадлежащее нулевому собственному значению.
Линейные формы а на подалгебре Картана t) из формулы (1.9) называют корнями алгебры Ли g относительно f). Подпространства 0а называют корневыми.
Пример 4. Рассмотрим полупростую (простую) комплексную алгебру Ли s((n, С). Множество t) всех диагональных матриц из s((n,C) является подалгеброй Картана этой алгебры. Дей-
tl
ствительно, операторы ad Я, H = Y а,Ец Є sl(n,C), полупростые.
i=i
Они диагонализуются в базисе (1.8). С другой стороны, f) •— максимальная коммутативная подалгебра. Для произвольного элемента H = Y OiEu имеем і
(ad H)Eij = [Н, Eij] = (oi - (Ii)Eij, і ф j.
Следовательно, одномерные подпространства СEij,і ф j, являются корневыми. Им отвечают корни
Qy(H) = Oij ^orJSr,) = Oi — O3-.
Разложение (1.9) для sl(n, С) имеет вид sl(n, С) = t) + Y CEaij,
іфі
Eaij = Eij. Ясно, что при і ф j и к ф s имеем
[Eij, Eics] = SjftEis — SisEftj.
Корни otij и числа Sjk, Ssi из этого соотношения определяют структурные константы алгебры Ли s((n,C). § 1. Полупростые группы и алгебры JIu
357
Корни и корневые подпространства полупростой алгебры Ли g имеют важные свойства:
а) если а — корень, то —а — тоже корень, то есть если 0ат^О, то 0_а ф 0. Если а — корень, то са, с Є С, не может быть корнем при с ф ±1;
б) если Ea и E? — элементы корневых подпространств 0а и 00, причем а ф ?, то [Eon E?] Є ?Q+?, если a + ? — корень алгебры Ли 0, то есть если {0}, и [Ea,E?] = = 0, если а + ? не является корнем. Если а = —?, то [Ea,E?] Є f);
в) все корневые подпространства 0а одномерны;
г) если а + ? ф 0, то корневые подпространства 0а и Q? ортогональны относительно формы Киллинга ??(-, •);
д) ограничение формы Киллинга В(-,-) на подалгебру Картана f) невырождено, то есть если B(Hq1H) = 0 для всех H Є f), то Hq = 0. Для каждого корня а существует единственный элемент Ha є t), такой что В(На,Н) = = а(Н) для любого H Є Если f)* — подалгебра в f), состоящая из вещественных линейных комбинаций элементов Ha:
аф О
то форма Киллинга вещественна и положительно определена на І}*;
е) элементы Ea и Е-а подпространств 0а и 0_а можно выбрать так, что В(Еа,Е-а) = 1 и [Еа,Е-а] = Ha.
Эти свойства легко выводятся, исходя из результатов примера 4, для алгебры Ли sl(n,C). Чтобы показать, как они выводятся в общем случае, докажем некоторые из них. Для доказательства свойства б) используется тождество Якоби (см. п. 6.4 гл. 1). Получаем
[Я, [Еа, E?]] = [[E?,H], Ea] + [[Н, Ea], E?] = = -[[H,E?],Ea] + [[H,Ea],E?] = (a(H) + ?(H))[Ea, E?], 358
