Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Eij = Ej+і<ш+1 - Ei+ij+1+i, і < j, (2.5)
E1 = Ei+ід — E= Еігі+і — Еі+і+ід, 1 ^ і ^ І,
(2.6)
является базисом пространства g. Подпространство
t) = CHi + ... + СЯ,
совпадает с множеством всех диагональных матриц из д. Матрицы из I) коммутируют между собой. Если Я = аіНі + -.. + + а,Я, Є і), то
[Я, = (±ai ± a j) Eii-^, (2.7)
[Н,Е±{] = ±aiE±{, (2.8)
где в (2.7) возможны все четыре комбинации знаков, причем знак при г (при j) совпадает со знаком при (Ii (при а,). Легко проверить, что при коммутировании матриц (2.3)-(2.6) между собой получаем те же матрицы или матрицы Я Є I)- Другими словами, g — комплексная алгебра Ли. Непосредственно проверяется (например, с помощью базисных матриц), что форма Киллинга на g задается формулой
B(X,Y) = (21 - 1) TrXF. (2.9)
С помощью этой формулы показывается, что форма Киллинга невырождена на д, то есть д — полупростая алгебра Ли. Подалгебра I) образует подалгебру Картана в д. Из (2.7) и (2.8) § 2. Классификация полупростых алгебр JIu 371
видим, что матрицы (2.3)-(2.6) являются корневыми элементами алгебры 0, а матрицы (2.2)-(2.6) образуют базис Картана-Вейля в д. Линейные формы на f)
Ocj-i(H) = Oj - ai, г ф j,
a-i-j(H) = -ai - aj, г < j, aij (H) =ai+aj, і < j, оч(Н) = ai, а-і(Н) = -?j, 1 ^ г ^ I,
образуют систему корней алгебры д. Выбирая матрицы (2.2) как упорядочений базис в I), находим, что корни
"j,-» j < г; aij, і < j; Ui, 1 ^ і ^ I,
положительны, a I корней
OCi-2, ОС2,-3, ... , ccj-i1-j, ОСІ
образуют систему простых корней.
С помощью соотношения В(На,Н) = а(Н) вкладываем корни алгебры Ли g в I). Используя формулу (2.9), находим, что это вложение имеет вид
Это сопоставление помогает установить скалярное произведение (a,?) = B(Ha,H?) в Y)'r. Используя это скалярное произведение, устанавливаем, что между корнями a,-,_i_ 1 и ai+it-i-2 угол равняется 120°, между корнями aj-^-j и aj — 135°, а остальные простые корни попарно ортогональны. Учитывая длины простых корней, видим, что наша алгебра имеет схему Дынкина Bi, то есть является простой алгеброй Ли Bi-
Каждый корень a алгебры g сопоставляем с вектором («№),«№),...,<*(#,))
/-мерного векторного пространства. Теперь корни записываются в виде
a±i,±j = ±ei ± ej, a±i = ±ej. 372
Глава 2,
Группа Вейля алгебры Bi действует в вещественном {-мерном векторном пространстве fj*, состоящем из векторов (ai,a2, - ¦ • ,aj). Непосредственно проверяется, что действие Sa отражений относительно гиперплоскостей, перпендикулярных к корням а, сводится к перестановке координат и uj в (ai,?2,... ,а,), если а = — е,, перестановке а+ и aj и изменению их знаков, если a = е, + ej, и изменению знака в а<, если а = е<. Таким образом, группа Вейля W алгебры Ли Bi является группой перестановок координат векторов (ai,?2,... ,aj) Є I)* с изменением знаков произвольного числа этих координат.
2.4. Алгебра Ли Ci. Пусть 0 будет линейным пространством всех комплексных матриц А размерности 21, для которых
Aq = -qAT, (2.10)
где q = о). Представим матрицы А в виде
( O21 Аи ) *
Тогда условие (2.10) означает, что
TT T _
а 22 — —a n, а12 — ai2, a21 — а2\.
Исходя из этого, находим, что набор матриц
Hi = Eii - El+i,l+i, і =1,2,...,1, (2.11)
Ei--I = Eij-Ejwh іфз, (2.12)
Ei' = Eij + Ej, і + 1, і < j, (2.13)
Е-*'-* = Еі+и + Ej+Ui, i<j, (2.14)
E2i = Eiii+,, E-2i = Ei+lii, I^i ^ I, (2.15)
составляет базис в 0. Образуем подпространство I) матриц H = = aiHi+.. .+aiHi, aj Є С. Они исчерпывают все диагональные матрицы в 0. Получаем
[Я, E^±j] = (±ai ± a j) Eii^j, (2.16)
[Я, Е±2і] = ±2 aiE±2i, (2.17)
где согласованность знаков такая, как в (2.7) и (2.8). С помощью этих соотношений и коммутационных соотношений для § 2. Классификация полупростых алгебр JIu 373
матриц (2.12)-(2.15) находим, что 0 является полупростой алгеброй Ли с формой Киллинга
В(Х, Г) = (21 + 2) Tr XY. (2.18)
Корнями этой алгебры являются линейные формы
Oi-J(H) =Ci- Cj, і ф j, aij(H) = Oi + Oj, oc-i-j(H) = -Oi - Oj, і < j, O2i(H) = 2Oi, а_2,(Я) = -2а;, 1 < і < І.
Выбрав матрицы (2.11) в качестве упорядоченного базиса подалгебры Картана Ї), находим, что корни
Oi-j, г < j-, Oij, г < j; o2i, 1 < г < /,
положительны, а корни
"1,-2, "2,-3,-•• ,Ol-I-I, O21
образуют систему простых корней. Вычислив углы между корнями и их длины, находим, что алгебра 0 является простой алгеброй Ли С/.
Каждому корню а поставим в соответствие вектор
(а(Нг), а(Н2),...,а(Н,))
в /-мерном пространстве Ї)*. Проведя такие же рассуждения, как в предыдущем пункте, приходим к выводу, что группа Вейля алгебры Ci совпадает с группой Вейля алгебры Bi.
2.5. Алгебра Ли Di. Пусть д — линейное пространство комплексных матриц А размерности 21, для которых
Ag = —qAT, (2.19)
где q = (Д р j. Представив матрицы А в виде на-
ходим, что условие (2.19) эквивалентно таким равенствам
TT T
O22 = -O11, O12 — —«12, O21 — -O2I- 374
Глава 2,
Отсюда находим, что матрицы
Hi = Eii - Е1+ІЛ+І, і = 1,2,...,/, (2.20)
