Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем вычислять функции корреляции второго и более высокого порядка для исследуемого светового луча, необходимо несколько глубже изучить его статистическую природу. Описание лучей, генерируемых естественными источниками, и лучей, генерируемых когерентными источниками, становится с этого момента качественно различным. Допустим, что наш источник является обычным хаотическим источником. Как видно из равенства (14.36),
корреляционные функции высокого порядка можно записать в этом случае как сумму произведений функций корреляции первого порядка. Другими словами, функция спектральной плотности нашего луча, состоящего из плоских волн, полностью определяет статистические свойства поля. В частности, скорость счета задержанных совпадений пар фотонов дается выражением
G(2) (i/i^ii У4г, У4г-, y4i) =
= G(1) (1/1^1, 1/1^1) Ga) (1/2^21 у4г) + I Ga) (уiti, у4г) j2 —
— Ga) {y4i, yiti) Ga) (y42, у4г) [1+1 (Уit 11 У4г) |2] =
= ^иУ(1+е-*у\'\). (15.12)
Присутствие члена е~2у 1 s 1 в этом выражении показывает, что луч никогда не может обладать когерентностью второго порядка. Далее,
из графика зависимости частоты совпадений от s (фиг. 15) видно, что этот член создает «горб» на кривой корреляции Хэнбери Брауна — Твисса, т. е. отклонение кривой от частоты случайных или фоновых совпадений. Экспериментальная кривая, показанная на фиг. 10, будет соответствовать форме кривой, приведенной здесь, после учета разрешающих свойств системы счетчиков.
Мы уже заметили в последней лекции, что причина корреляционного эффекта лежит в случайной амплитудной модуляции светового луча. Таким образом, множитель п\, которым частота п-крат-ных совпадений (при нулевом времени задержки) отличается от частоты случайных совпадений, легко объясняется в терминах моментов гауссового распределения амплитуды W (Ш, х), данного равенством (14.48). Чтобы понять поведение корреляционного эффекта при ненулевом времени задержки и объяснить, например, почему эффект исчезает при | s | > 1 /2у, мы можем использовать распределения квазивероятности для двух значений амплитуды
поля, найденных в последней лекции. Подставляя значения, данные равенствами (15.8) и (15.11) для корреляционных функций, в выражение (14.65) для функции условной квазивероятности W (§iX! | ё2Хг), находим
W | %гУ4г) = ~-----------------------X
“ _1_
тг
: ехр
ли (1
2y Is!
ig2-^iei(JoS~Y|s| j2 \и( \-е~2ч Is')
(15.13)
Эту функцию следует интерпретировать как распределение величины амплитуды поля %2 в точке (у2, t2) при условии, что в точке (г/1; /4) амплитуда принимает значение Ш\. Когда параметр s
исчезает, среднии радиус гауссова пика в этом выражении стремится к нулю и распределение сводится к функции 6(2) (g2 — f i)-Когда | s | увеличивается от нуля, среднее значение Ш2, выраженное в виде Eieia° S~Y 1 sописывает в комплексной §2-плоскости экспоненциальную спираль, стягивающуюся к нулю. Спираль, соответствующая s < 0, показана в несколько утрированном виде на фиг. 16. В то же самое время среднеквадратичный радиус гауссова пика в распределении асимптотически стремится к значению 1liU. Для значений | s |, гораздо больших, чем Ну, условное распределение (15.13) принимает форму пика с центром в начале коор-
динат и совпадает с неусловным распределением W (&2, yztz), выраженным равенством (14.48). Время 1/у есть время релаксации для распределений амплитуды поля. Величина перестает влиять на распределение Ш2 при | s | > 1 /у. Не удивительно поэтому, что для интервалов, при которых | s | > 1 /у, частота двухфотонных совпадений
G<2> У4чУ4\)= ^ %гу4,г) | I21 I2 X
х йщ! = \ w (мм w (SmU IЫ*) х
V
X [ I21 Ш2 (2 &Ч, d2i2 (15.14)
сводится к факторизованной форме
С<2)(^1^2, у4чу4д = Ga) (г/i^i, y4i) G(1) (yzt2, y2t2). (15.15)
Другими словами, тенденция к фотонным совпадениям исчезает, когда интервал s = tt — t2 — с-1 (z/i — у2) становится достаточно большим, так как амплитуды поля % (y^ti) и Ш (yzh) перестают быть статистически коррелированными.
Чтобы показать, как полная временная зависимость частоты совпадений вытекает из интеграла (15.14), мы заметим, что, когда функция условного распределения дана равенством (15.13), среднее значение \Ш2 |2 при фиксированном равно
\ tt7 (Mi I i2y2t2) I g2 I2 d42 = | Ш112 e-2v l«l +1U(1 -e-2v N). ( 1 5. 1 6) ti ^
Умножая это выражение на [ Mi |2 и усредняя его, как и в равенстве (15.14), по гауссовой форме для W (Eiy^i), находим
G<2) (yJu y2t2, У4г, yih) = (у I/)2 (2e-2vN + 1 _ е-2у[®1) =
= (I[/)2(Hr2vW), (15.17)
что подтверждает значенйе частоты совпадений, найденное ранее в виде равенства (15.12).
Все наши расчеты корреляционных функций были основаны на предположении, что энергетический спектр светового луча имеет лоренцеву форму. Соответствующие результаты легко вывести и для других спектров, для которых известно фурье-преобразова-ние. Для любой другой простой и гладкой формы спектральной линии получим результаты, качественно подобные тем, к которым мы пришли для лоренцевой формы линии.
