Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 67

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 76 >> Следующая


Рср (af 1 РО = ~ б (| р | -1 а |) <б (0 - 0О + Ф (tt'))cр. по f. (15.54)

Если вспомнить теперь, что функция б (0) имеет разложение в ряд Фурье

оо

б(0) = УГ 2 eime- (15-55)

771= —оо

то усредняемую б-функцию в равенстве (15.54) можно записать следующим образом:

00 im ? f(t")dt*

б<0) = -йГ 2 eim(0-e„) {е t' )ор по/. (15.56)

7П= — ОО

Остается выяснить еще некоторые свойства случайных функций f (t), прежде чем можно будет усреднить по ним экспоненциальные функции в равенстве (15.56).

Разнообразные физические процессы, которые могут возмущать частоту нашего осциллятора поля, требуют, чтобы мы обсудили различные виды случайных функций f (i). Здесь мы рассмотрим, однако, только один из простейших типов случайных функций. Примем, что f (i) есть стационарный гауссов стохастический процесс, т. е. что в любое время t ансамбль значений f (i) имеет фиксированное гауссово распределение. Тогда нетрудно показать, что усредненные экспоненты в равенстве (15.56) будут даваться выражением

<ехр{ш( f((•)*•}> =

V

t t

-= ехр { -i-m2 J 5 {f(t")f(t"'))dt"dt"’} , (15.57)

V V
где среднее по ансамблю (/ (Г) f (?")) есть просто автокорреляционная функция случайного процесса f(t).

В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда функция f(t) флуктуирует так быстро, что ее функцию автокорреляции можно взять в виде

(f(t")f(n) = 2^(t"-f), (15.58)

где ? есть положительная константа. Тогда усредненные экспоненты в равенстве (15.57) сведутся к

t

<^ехр |i'm ^ / (Г) ^ = ехр {— m2? 11 — t’ |}, (15.59)

v

а усредненная 6-функция в равенстве (15.56) становится равной

оо

<б(0-Оо + ф(«'))>сР.по/= 2iT 2 ЧI *-*'1. (15.60)

т=—оо

Интересно заметить, что эта функция есть в сущности функция Грина дифференциального уравнения для диффузии тепла в кольцевой области, т. е. удовлетворяет уравнению

(тй ^"ар") ^ (9 — + q>))cp = о

для t> ? и сводится к б (0 — в0) для t = f. Становится ясно, что функция условной квазивероятности (15.54), которую можно записать как

оо

Рср(а^|р^) = _^_гб(|р|-]а|) 2 (15.61)

¦т—— оо

описывает такую случайную фазовую модуляцию, в которой фазовая переменная 0 = arg р «диффундирует» от ее первоначального значения 00-

Величина, обратная диффузионной константе ?, определяет время релаксации для фазовой переменной. Для интервала времени t—?, значительно превышающего 1 /?, распределение (15.61) сводится к постоянному распределению с круговой симметрией; фаза 0 становится полностью случайной.

Вернемся теперь к вычислению функции корреляции первого порядка для поля. Согласно равенству (15.43), мы можем построить эту функцию, как только вычислим среднее

(Р(а, t')P(at'\$t))cp.mf. (15.62)

Предположим, что мы не знаем исходной фазы осцилляций поля. Поскольку случайные возмущения поля только сдвигают фазу, то фаза остается однородно распределенной все время, т. е. мы
никогда не знаем о фазе больше, чем вначале. Следовательно, оператор плотности, который представляет поле, стационарен. Функция Р (a, t) в равенстве (15.36) зависит только от абсолютного значения а и не зависит от t, так же как и от поведения функции f (t). В этом наиболее часто встречающемся случае функцию Р (a, t') можно записать как Р (|а|) и вынести из скобок, означающих усреднение, в выражении (15.62):

Р(|а|)РсрК|Р0; (15.63)

здесь второй сомножитель дается равенством (15.61).

Из равенства (15.61) ясно, что

J PcpK|P*)P*daP =

оо 2я

о о

X 2 eim(9~9°)-m2? 11~1'1 dQ =

= | а | e-i0o-S II = а*е-? II. (15.64)

Подставляя выражение (15.63) в корреляционную функцию (15.43) и используя только что вычисленный интеграл, находим

(at (t)a(t')) =

— ^ Р (I a I) I a I2 d2aei<0o('~f')-?1 '~г'1 =

= <|a|a)e1«o('-*')-tl/-‘'l, (15.65)

где символом (|a|2) обозначена среднеквадратичная амплитуда возбуждения, или, что эквивалентно, среднее число фотонов в моде.

Если принять, что функция моды и (г) для поля не меняется в результате возмущения, то полную пространственно-временную
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 76 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed