Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
S. Распределение квазивероятности для амплитуд поля в двух пространственно-временных точках
Ряд корреляционных функций и другие статистические характеристики, которые нас интересуют, зависят от полей в двух различных пространственно-временных точках Xl и х2¦ Если существует P-представление, то эти средние можно выразить в общей форме
\ Р (Ы) F (Ш (Xl {<*&}), Ш (хг {аА})) Д d?ah, (14.58)
h
где функция F соответствующим образом определяется для каждого случая. Два известных примера таких средних представляют корреляционная функция первого порядка G<v (х,и х2), для которой мы выберем
F = Ш* (-Xi {ай}) % (х2 {ай}), (14.59)
и скорость счета задержанных совпадений G(2) (xtx2, х2хх), для которой
F = | % (xt {а*}) ]21 % (x2 {a*}) j2. (14.60)
Теперь, если функцию распределения W (&iXi, Ш2х2) для комплексных амплитуд поля в двух точках определить соотношением
W(SlXu Ш2х2) = ^ Р(Ы)Ьт(% 1-8(*|Ы))х
X Ь™{Ш2-Ш{х2{ак})) П d2ak, (14.61)
h
то среднее значение в формуле (14.58) дается интегралом
J W(MiXl, n2x2)F(%u g2)d2g4d2g2. (14.62)
Функция W ё2х2) по существу есть распределение квазивероятности, которое играет в усреднении функций двух пространственно-временных переменных ту же роль, что и обсуждавшаяся выше функция W ф, х) в усреднении функций, зависящих от одной пространственно-временной точки. Фактически функцию W (Щ, х) можно получить из «двухточечной» функции интегрированием по переменным поля для одной из точек
№(g, Х)= [ W(gx, 8'х')<Рё' = J W(g'x', %х)сРШ'. (14.63),
Когда функция Р ({аА}) представима в виде произведения независимых весовых функций по одной на каждую моду, а число возбужденных мод велико, легко показать, используя метод, подобный тому, который был применен в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, что функция W (&lXl, ё2х2) принимает гауссову форму по двум переменным комплексным амплитудам и Ш2. Для доказательства мы просто покажем, что двойное преобразование Фурье функции W (&lXi, &zX2) по переменным амплитудам ^ и Ш2 есть асимптотическая форма гауссова распределения для бесконечного числа возбужденных мод. Тогда обратное преобразование приведет к результату, который для случая стационарных полей можно записать в виде
&2Х2)= Л20а> {XlXl) Ga> (x2x2J{l-l ga> (xix2) W Х
f ^ll2 , 1^2 I2 op
jG(1> (XjXj) G(i) (x2x2) {G(1) (xlXl) 0(1) (x2x2)}^
Л P (. , „(1) /„„ч |a
1 — I g(1) (XlX2)
(14.641
где gW — нормированная функция корреляции первого порядка, определенная равенством (7.5). В качестве простой проверки этого результата легко убедиться, что среднее значение функции (14.59) есть
{G(1) (XiXi) G<2)(х2х2)у/2 ga) (Xix2) = GQ) (х^, x2) (14.65)
и что среднее значение функции (14.60) есть действительно
G(1)(хи xl)Ga>(x2, x2) + |G<1)(^1, х2) I2 = G(2> (XiX2, X2X1). (14.66)
Функция W (&iXi, Ш2х2) играет в теории роль, аналогичную плотности вероятности для связанных событий, т. е. вероятности нахождения поля в точке Xl = (гь 14), а поля %2 в точке х2 = = (Гг. t2). Оперируя с такими связанными событиями, в теории
вероятности часто вычисляют вероятность полного связанного события, предполагая, что первая часть события уже имела место. Для такого случая функцию вероятности можно определить посредством соотношения
где W (&iXi) определяется равенством (14.44). Функция W i&iXi | Ш2х2) есть аналог плотности вероятности того, что амплитуда поля в точке х2 = (г2, 12) будет иметь значение в окрестности §2> когда известно, что в точке х\ = (гь t±) она имеет значение g4. Мы будем называть эту функцию плотностью условной квазивероятности; строго говоря, это единственная величина, измеримая как плотность вероятности в классическом пределе, или в пределе сильного поля.
Вычисляя отношения функций, данных равенствами (14.64) и (14.48), для плотности условной вероятности получаем
Другими словами, поле Щ2 имеет гауссово распределение около среднего значения
с дисперсией, пропорциональной G (2) (х2х2) {1 — I ga> (*1*2) I2}. которая исчезает, когда точка х2 близка к Xi, и приближается к G <2> (х2х2), когда точка х2 удаляется от х\. Мы исследуем эти выражения подробнее при расчете функций корреляций, от которых они зависят.
W (§jATj [ Ш2Х2)
W(4lXi, %2хг) W(%iXi)
(14.67)
W(ilXi\i2x2) =
л G(1) (х2х2){1 —! ga) (*1*2) I2} X
TT2ga) (xixz)
j . (14.68)
(14.69)
Лекция 15
1. Элементарная модель светового луча
Так как до сих пор наши результаты формулировались в весьма общей форме, то один-два наглядных примера будут очень полезны. Рассмотрим, в частности, простой пример стационарного светового луча, который можно представить в виде плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси у. Мы допустим, что луч имеет произвольную полосу частот, но определенную поляризацию ё. Функцию корреляции первого порядка для первого луча можно вычислить при помощи равенства (14.13) как сумму по функциям мод, имеющим вид плоских волн. В качестве индекса функций мод можно взять в этом случае ky, т. е. г/-компоненту волнового вектора (другие компоненты равны нулю). Поскольку значения ky распределены плотно, когда размеры объема квантования L велики, суммирование по ky эквивалентно одномерному интегрированию
