Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
2 2^ 5dky' • ' ¦
hv
Подставляя функции мод, данные формулой (С2.9), в равенство (14.13) и заменяя сумму интегралом, находим
оо
Сш0/А, Ш = ^ \ IX- &г1[к»(и-и)-т*('dky, (15.1)
о
где, как и в равенстве (4.21), G(V есть функция корреляции для компонент поля в направлении ё. Поскольку луч не содержит встречных волн (соответствующих отрицательным значениям ky), мы можем заменить переменную интегрирования kv на частотную переменную = cky. Тогда, если пространственно-временной интервал, входящий в аргумент, обозначить через
s — h ~ ^2 + — {У\—У2), (15.2)
то можно записать
оо
Ga> У42)= 4^ J (15.3)
О
Выражение (м*) frtoA, фигурирующее в подынтегральном выражении в равенстве (15.3), есть средняя энергия возбуждения k-й моды. Примем, например, что наш луч имеет лоренцеву форму спектральной линии
<га^> __________2у_______гг
CL2 “ ((0-(00)2 + Y2
Здесь co0 — центральная частота, у — полуширина линии и постоянная U — мера интенсивности луча. Поскольку частота <и0 обычно много больше, чем у, то будет сделана лишь очень малая численная ошибка при интегрировании по спектру, если нижний предел to = 0 в равенстве (15.3) заменить на to = — оо. В этом приближении мы находим (to' = to — to0)
о° . ,
G(1) (i/iti, у2^2) = Uei(0°s \ J2 + y-2o!h'. (15.5)
LJ-J------------------------jl—X (15.6)
iy t (o' — iy (о +iy J v ’
Сингулярные точки функции 1 1
w'2 + y2 2 iy
суть пара простых полюсов ±iy в комплексной to'-плоскости. Интеграл в формуле (15.5) можно записать как контурный по замкнутому пути в «/-плоскости, причем выбор пути интегрирования зависит от знака переменной s. При s > 0 контур можно замкнуть с помощью бесконечной полуокружности в верхней полуплоскости 1ш со' > 0; при s < 0 его можно замкнуть полуокружностью в нижней полуплоскости. Поскольку интегралы по обеим полуокружностям исчезают, то, применяя теорему вычетов, находим
Г s > 0,
1^------d<o=2ni \ (15.7)
Согласно формуле (15.5), функция корреляции первого порядка равна
G(1)(^i, Ш = «-У»1. (15.8)
Интенсивность поля находится в предположении г/4 = у2 и ti = t2. Для этих значений координат, соответствующих s = 0, имеем
(15.9)
Это не что иное, как среднее значение квадрата величины комплексного поля ?(+). Если вспомнить формулы элементарной электроди-
намики, то легко видеть, что параметр U равен полной средней плотности электрической и магнитной энергий поля.
Функция корреляции, данная равенством (15.8), показывает, что рассматриваемый световой луч приближенно обладает когерентностью первого порядка, когда его полоса частот достаточно мала. Таким образом, когда
|sj = |/i —12 — у (г/x — уг)\, (15.10)
множитель e'Y Is! в равенстве (15.8) можно аппроксимировать единицей и оставшееся выражение для функции корреляции можно приближенно записать в факторизованной форме. Рассуждая иначе, мы также обнаружим когерентность первого порядка, если заметим, что нормированная корреляционная функция равна
у42) - ——- гГ'~Г7—^ ei(°°s~Y|sl• <15Л1> {G( (yihI yih) С(1) Шь yz^i)}
Абсолютная величина этой функции действительно близка к единице, когда величина yl s I достаточно мала.
Проблеме создания источников света с узкой полосой в экспериментальном плане обращалось много внимания. В наилучшем из таких источников — обычном газовом разряде — величина у имеет порядок 109 гц. У обычных лабораторных источников у часто порядка 10п гц и больше. Соответствующие интервалы когерентности составляют 30 и 0,3 см.
Хотя мы уже обсудили условия, когда монохроматичность предполагает когерентность, однако полезно напомнить, что она не является необходимым условием даже для когерентности первого порядка. Как мы заметили в связи с равенством (7.24), условие когерентности только тогда сливается с требованием монохроматичности, когда мы ограничиваем наше рассмотрение стационарными полями. Для стационарных лазерных лучей область когерентности первого порядка определяется спектральной шириной полосы так же, как и для обычных источников. В случае газовых лазеров без особых трудностей можно свести ширину полосы к значению порядка 103 гц и, по-видимому, возможно достичь частотной стабилизации в пределах около 10 гц в течение коротких интервалов. Интервалы когерентности при таких полосах равны 300 и 30 000 км.
