Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Этот пример показывает, в каком идеализированном смысле необходимо рассматривать условия когерентности. Мы не можем ожидать, что корреляционные свойства полей, излучаемые реальными источниками, будут подчиняться условиям когерентности в неограниченной области пространства (хотя для полей лазеров эти условия выполняются, как известно, на протяжении десятков тысяч километров).
3. Функции корреляции для хаотических полей
Важный класс стационарных полей, возникающих всегда, когда источник по природе своей хаотичен, представляют поля, для которых весовая функция в P-представлении есть произведение гауссовых функций по одной на каждую моду. Оператор плотности представляется для этого случая в виде
(14Л9)
к
а все статистические свойства поля определяются системой средних чисел заполнения {tik). С другой стороны, знание этой системы чисел эквивалентно, согласно равенству (14.13), знанию функции корреляции первого порядка для поля. Здесь проявляется то фундаментальное обстоятельство, что функция корреляции первого порядка содержит всю информацию, необходимую для описания полей с гауссовыми весовыми функциями. Это свойство, упрощающее рассмотрение, можно доказать, показав, что все функции корреляции более высокого порядка для таких полей можно выразить как сумму произведений функций корреляции первого порядка.
Чтобы доказать эту теорему, мы установим вид производящего функционала для системы всех функций корреляции поля. Важным инструментом в этом будет операция функционального дифференцирования. Если F [?(*)] есть функционал ? (х), т. е. функция набора значений ? (х) для всех х, то его функциональную производную по ? (х0) определяют соотношением
-g~^-==lim [?(*) + еб<4,(* — *о)] — F [?(*)]}, (14.20)
где б(4) есть четырехмерная (пространственно-временная) б-функ-ция. Если в качестве иллюстрации применить это определение к интегральному оператору
F=^ ?(х)Е<~> (x)d*x, (14.21)
то найдем, что
6^(x-x0)E^(x)d*x = E^(x0). (14.22)
Производящий функционал определим выражением
„rw ч , ч, с г \mE<--\x)dix U(x’)E<+\x')dix'
a [?(*), ti(*)] = Sp {QeJ eJ }, (14.23)
в котором он зависит от двух независимых функций ? (х) и т] (х)
и является шпуром нормально упорядоченного произведения.
Отсюда видно, что функциональные производные этого выражения, вычисленные для ^ (л:) = rj (л:) = 0, являются корреляционными функциями поля, т. е.
Л2 |
^^6^3U=o = SP^)^l)?<+)(^ = G<1>(^’ Хг)' (14'24)
или в более общем виде
_________________62™________________________________я I _
(*i) ... &Z (*n) ST1 (хп+1) . . . бц (Х2п) “ lt=n=0
= С(П)(л:1 ... Хп, xn+i . . . х2п). (14.25)
[Тензорные индексы, которые опущены в этих выражениях, можно
было восстановить, если учесть, что каждая координата х определяет и положение, и время; например, функция ? (л:) есть фактически набор четырех функций ^ (г, t) для ju, — 1 ... 4.]
В этом месте удобно ввести сокращенное обозначение
е (х, k) = i и* (г) , (14.26)
с помощью которого разложение оператора Е(+) по модовым функциям записывается в виде
Е(+) (х) = ^е(х, k)ah. (14.27)
Используя P-представления для оператора плотности с гауссовой
весовой функцией (14.19), производящий функционал (14.23) можно записать в виде
3 = J ехр | — 2i -fef } ехР { 2 § ? W е* (¦**) а*# х} х
h h
X ехр {2 J т] (х') е (x'k) ak #л:'j- Д . (14.28)
h
Этот многократный интеграл обращается в произведение интегралов по одному для каждой моды k. Если ввести два комплексных параметра
Р*= \ ?(х)е*(х, k)dlх,
J (14.29)
yk= ^ r)(x')e(x’, k)d*x',
то интегральный множитель для моды с индексом k примет знакомую форму
\ ехр { ~ + P*ah + = ехР {Mft <nA>}- (14.30)
Следовательно, производящий функционал дается произведением
В = П ехр {Pay* (па)} = h
= ехр { ^ t,(x) 2 б* (л:, k) е (хk) (я*) г| (л:') d*x dlx' j- . (14.31)
k
Согласно равенствам (14.13) и (14.26), функция корреляции первого порядка для поля
Ga) (х, х') = 2 е* (х, к) е (х , к) (nk), (14.32)
h
есть как раз та сумма, которая фигурирует в показательной функции в выражении (14.31). Таким образом, производящий функционал для функций корреляции всех порядков можно выразить через функцию корреляции первого порядка
3 [С М> ^ (*)] = ехр { ^ t,(x)Ga)(x, x')r\(x')dix dix/^ . (14.33)
