Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Удобнее сразу рассматривать функцию Вигнера как функцию комплексной переменной а и соответственно изменить ее нормировку. Вспомним, что
<13-33>
и определим функцию
W(a) = 2hW(p',g'), (13.34)
так что
J W(a)d2a = 1. (13.35)
Тогда функция Вигнера комплексного аргумента будет иметь вид W (а) = ~ J Р (р) e~2l0-“i2 d2p. (13.36>
Сравнивая это выражение с выведенным в предыдущем разделе-
<а | q | а) = J Р (р) e-IP-“l2 d2р, (13.37>
мы видим, что оба они являются просто гауссовой сверткой Р-рас-
пределения (когда последнее существует). Свойство принимать местами отрицательные значения, которое является общим для вигнеровского распределения и P-распределения, связано, по-видимому, с тем, что усреднение, выраженное равенством (13.36),. производится в радиусе, который в 1/|/2 раз меньше радиуса в выражении (13.37).
В качестве примера рассмотрим вигнеровское распределение для поля, описываемого гауссовым оператором плотности. В этом случае, согласно равенству (13.36), имеем
Н {-|PP(2 + i)+2(ra + «-W} if.
(13.38)
Используя подстановку
сводим интеграл к стандартной форме
Г(а) = *Ч2№+1) J ехр { -1 у Is + 2 j,,''", , j'" (Y’a+a*V)} -
-vWtT+T) -| V-2 {«Str},/'a Г} X хехр{[тШт-2]|“1а}- О3-39)
Отсюда непосредственно следует, что
^ (°) ~ л (2 (д) ]> eJtP { 2Тп7-ГТ 'q • d3-40)
Таким образом, вигнеровское распределение также имеет гауссову форму. Рассмотрим опять два предельных случая: (п) = О,
когда
W(a)=^-e~21“'2, (13.41)
и (n) —> оо, для которого
Г(а)^^е-№/<п> = /Э(а); (13.42)
что и следовало ожидать в этом предельном случае.
Простая гауссова форма, определяемая равенством (13.40), может быть использована для вывода полной системы вигнеровских распределений для квантовых состояний с индексом п. Это возможно потому, что функцию (13.40) можно рассматривать как производящую функцию для вигнеровского распределения. Рассмотрим
общий случай оператора плотности, который можно записать
в форме
оо
q = (1— х) 2*»|п> <п|, (13.43)
71=0
где х — произвольный параметр. Если считать, что U^n(a) есть вигнеровская функция для n-го квантового состояния, то как следствие линейности W по Q будем иметь
оо
U7(a) = (l-x) 2 xnWn{a). (13.44)
71=0
Если ввести теперь обозначение х = (п)/( 1 + («)), то из уравнения (С8.10) станет ясно, что оператор Q, определяемый соотношением (13.43), есть просто гауссов оператор плотности. Следовательно, используя переменную х, можно записать равенство (13.40) в виде
“1т1т1ехр {ттз4|“|’}ехр<_2|“1’1' (13-45)
Но эта довольно сложная экспонента есть производящая функция для полиномов Лагерра Ьп. В более обычных обозначениях производящая функция имеет вид
е‘1>^Н=2 *¦"<«>?• (13-46)
71=0
Таким образом, равенство (13.45) имеет следующее разложение:
оо
Г(а) = (1-*)42 xn(jTT-Ln(4|а|2)г-2М*. (13.47)
71=0
Функцию
*„<„) = A <^M4|„|.)e-»l..'
можно отождествить с вигнеровской функцией для п-го возбужденного состояния осциллятора. Эти функции имеют довольно сложное поведение в комплексной фазовой плоскости; функция
Фиг. 12
с индексом п имеет узлы на п концентрических окружностях.
Для первых двух состояний имеем
(а) = |ехр {-?^VS} , (13.48)
(а) = (4 | а ]2 — 1) е-2!®!2. (13.49)
Функция Wl(a) изображена на фиг. 12. Ее максимальное значе-
ние лежит на окружности с радиусом а = ]АЗ/2.
Каждая из рассмотренных функций (P-функция, функция
(а | q | а) и вигнеровское распределение) имеет свои преимущества. Из предыдущей дискуссии должно быть ясно, однако, что мы можем построить много таких функций, каждая из которых будет обладать своими достоинствами. Всем таким рассмотрениям фазового распределения присущ элемент произвольности.
Замечание. В недавнем препринте Клаудер, Мак-Кенна и Кюри подтвердили вывод о том, что для произвольных операторов плотности существование весовой функции Р не является необходимым. Чтобы преодолеть эту трудность, они выразили матричные элементы оператора плотности с помощью предельной последовательности бесконечного числа операторов в P-представлении. Однако при этой процедуре теряется наиболее полезное свойство Р-пред-ставления — возможность сведения статистического среднего к простым интегралам по комплексной а-плоскости.
