Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Лекция 14
1. Функции корреляции и распределение квазивероятности
В этой и следующих лекциях мы начнем обсуждение применений развитого формализма к некоторым более конкретным задачам. В качестве первого шага в этом направлении мы обсудим некоторые моменты из раздела 10 вышеприведенной статьи автора.
Предположим, что электромагнитное поле находится в чисто когерентном состоянии, которое мы обозначим символом |{ай}). Состояние |{ай}) есть собственное состояние оператора Е <+)
Еш (г, t) [ {ад}) = % (г, t {aft}) j {aft}), (14.1)
и соответствующая функция собственного значения линейная комбинация переменных {ak}
Щ(г, t{ak}) = i 2 Q~y/2uh(г)е~шь*ак. k
Соответствующее поле находится в полностью когерентном состоянии, так как функции корреляции всех п порядков факторизованы:
п 2 п
Gff... ц2п (Xi ... х2п) = П (xj {aft}) П ^J (*/ {“*})• (14-3)
3=1 3=и+1
Мы уже отмечали, что термин «когерентность» часто используется при обсуждении квантовомеханических проблем самого различного характера. Поскольку этот термин обычно предполагает возможность интерференции, он должен найти применение при анализе чистых квантовомеханических состояний. Однако возможность наблюдения интерференции никоим образом, не исчерпывается чистыми состояниями. Для большинства квантовомеханических систем существуют некоторые статистические смеси состояний, для которых сохраняются в сущности те же явления интерференции, что и найденные для чистых состояний. Примеры таких смешанных состояний легко найти для электромагнитного поля; нетрудно показать, что они могут соответствовать полям, которые полностью когерентны в смысле равенства (14.3).
% есть (14.2)
Вместо поля, которое соответствует системе амплитуд {aft}, мы рассмотрим поле, соответствующее системе {с4}, которое полу-
чается умножением каждого из коэффициентов ak на фазовый множитель ei(P, одинаковый для всех мод. Если
a'k = ei(paft, (14.4)
то в силу линейности функции собственного значения % должно
иметь место соотношение
in (г, t{ah}) = ei(Pgn (г, t {as}). (14.5)
Так как при нахождении функции корреляции фазовые множители исчезают, то измененное состояние поля ведет к той же системе корреляционных функций (14.3), что и исходное состояние. Это свойство инвариантности, которое вытекает из нашего определения функций корреляции, означает, что мы сохраняем те же самые корреляционные функции не только для чистых состояний, соответствующих различным значениям фазы <р, но также и для произвольной смеси таких состояний.
Предположим, что X (<р) — функция, удовлетворяющая условию нормировки
2Л
^ X (ф) dcp = 1. (14.6)
о
Построим оператор плотности
2л
q=^ X (ф)| {ahei<f}) <{aftei(P}| d<p, (14.7)
о
который представляет собой смесь состояний с различными значениями полной фазы ф. [Заметим, что X (ф) должно также удовлетворять условию положительной определенности, аналогичному равенству (С7.9).] Эти смеси [при любом выборе X (ф)] ведут
к системе корреляционных функций (14.3), следовательно, все
такие смешанные состояния соответствуют полностью когерентным полям.
С практической точки зрения весьма важно то, что наши определения включают в себя смешанные состояния, соответствующие когерентным полям. Наше априорное знание состояния высокочастотных полей обычно не содержит информации о полной фазе ф. Поэтому ансамбль экспериментов, проведенных с такими полями, должен описываться с помощью оператора плотности в форме (14.7) со специальным выбором X (ф):
?(Ф) = ^, (14.8)
который отражает наше полное незнание фазы. Неопределенность этой фазы не оказывает влияния на интенсивности ни в одном из опытов по интерференции, которые мы обсуждали до сих пор. Следовательно, она не должна иметь отношение к когерентным свойствам поля. Наше определение когерентности едва ли будет полезным с физической точки зрения, если оно не будет допускать когерентность смешанных состояний, так же как и чистых состояний.
2. Функция корреляции первого порядка для стационарных полей
Фактически все известные эксперименты в оптике могут быть описаны с помощью функции корреляции первого порядка для стационарных лучей света. Начнем вычисление такой функции корреляции, используя разложение по нормальным колебаниям для операторов поля:
(rt, r'f) = -у 2 % Sp {Qalah<}
2
k, k'
X
X u*n(r)«ft'V (r,)ei(t0Ai_t0ft'r). (14.9)
