Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 51

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 76 >> Следующая


и только один отличный от нуля момент. Используя (13.3)

и (13.5), можно записать

оо

(13.6)

п=0

Теперь необходимо проверить, имеет ли такое решение какой-либо смысл или нет.

Математики уже давно доказали, что б-функция и ее производные не являются, строго говоря, полноценными функциями. Совсем недавно развита теория распределений (или теория обобщенных функций), в которой указаны пределы применимости преобразований типа (13.6).

В теории распределений уравнениям (13.4) и (13.5) придают вполне определенный смысл, однако нужно иметь в виду, что здесь мы сталкиваемся, вообще говоря, не с обычным значением, которое можно придать, например, бесконечной сумме в уравнении (13.6).

«Решение» Сударшана для двумерного распределения имеет

вид

где а = ] а | eiQ. Холидей и Сейдж х) на простом примере показали, что это выражение нельзя рассматривать как распределение (обобщенную функцию) произвольного вида. В качестве примера использовался оператор тепловой плотности. Они показали, что интеграл от произведения ряда (13.7) на предельно хорошо ведущую себя пробную функцию (которая равна нулю вне круга конечного радиуса в a-плоскости) расходится. Кахилл 2) показал недавно, что для бесконечного числа квантов ряд (13.7) не удается интерпретировать как обобщенную функцию.

Поскольку эти результаты указывают на то, что представление, предложенное Сударшаном, не является, вообще говоря, корректным, весьма важный вопрос об общности Р-представления остается открытым. Однако Кестлер и Глаубер 3) показали недавно, что P-представление не настолько общо, чтобы описать все состояния. Они показали, в частности, что существуют такие квантовые состоя-

п—0т=0

(13.7)

х) Holliday D., Sage М. L. (в печати).

2) Cahill К., частное сообщение.

3) К a s t 1 е г D., Glauber R. J. (в печати).
ния поля, для которых невозможно найти функцию Р (а), являющуюся распределением. Это означает, что все результаты, полученные с использованием P-представления, справедливы только в том случае, когда представление существует.

3. Положительно-определенная «плотность состояний в фазовом пространстве»

Рассмотрим теперь некоторые другие примеры функций квазивероятности, которые могут быть иногда полезными. Одной из таких функций является диагональный элемент (а | q | а) оператора плотности. Ясно, что элемент (а | q | а) является неотрицательным и вполне определенной функцией а для всех Q. Следовательно, по своему характеру он ближе к понятию плотности состояний в фазовом пространстве, чем функция Р (а).

Из общего выражения для R (а*, Р), определяемого равенством (С6.1),

R(a*, Р) = <а | Q | Р) ехр{1(|а|* + |Р|»)} легко получаем, что

(а|е|а) = ^(а*, а)е-1“12. (13.8)

Таким образом, согласно (С6.6), условие нормировки для (a | q | а) записывается в виде

-i- ^ (а | q | a) d2a = i ^ R (a*, a) e~lai2d2a = 1. (13.9)

Если для оператора плотности q P-представление существует и имеет весовую функцию Р(Р), то

(а | Q | a) = J Р (Р) | <а | Р) |2d2P =

= J P(p)e-l“-Pi2d2p. (13.10)

Рассматриваемая функция есть просто свертка Р-функции.

Функцию (а | q | а) можно использовать для вычисления средних значений произведений операторов, которые в антинормальном порядке усредняются посредством P-представления так же, как и произведения в нормальном порядке.

Рассмотрим для примера среднее

Sp {QJ (а) К (&)},

где J и К могут быть любыми функциями операторов уничтожения

и рождения соответственно. Мы можем записать это среднее следую-
щим образом:

Sp {К («О QJ (а)} = т^ ^ Sp {j а) < а ! /С (а*) qJ (а)} d2а =

=-i- ^ d2а (а | К (а*) QJ (а) | а) = ^ <а | q | а) К (а*) J (а) d2a.

(13.11)

К сожалению, исследователи не слишком часто интересуются оценкой ожидаемых величин произведений операторов поля в анти-нормальном порядке. Для полной системы мод поля такая ожидаемая величина содержит расходящиеся составляющие от вакуумных флуктуаций.

Для п-го возбужденного состояния осциллятора функция (а | q | а) принимает интересную форму:

= | п) (п | = -I- (а+)" 10) (01 ап, (13.12)

<а | q | а) = | <а | п) |2 = -^-е-|а|2. (13.13)

Это исключительно «хорошая» функция, особенно в сравнении с аналогичным выражением в P-представлении, которое содержит 2/г-ю производную б-функции. При х = п функция хпе~х достигает максимума, который при больших значениях п имеет вид острого пика. Чтобы получить результат (13.13) в виде распределения в фазовом пространстве, необходимо заменить а выражением (13.2)

Эта функция имеет свое максимальное значение на эллипсе

у (//2 + шУ2) = яЛш,
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed