Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
р’г + ш2(?'2 = 2 е
(масса взята равной единице).
Любому комплексному собственному значению оператора
а = (2fcffl)_1/2 (aq + ip) (13.1)
будет соответствовать когерентное состояние. Амплитуду а,
-соответствующую состоянию | а), можно записать в виде
a=^(2ha>)~lh((oq'4-ip'), (13.2)
где q' и р' — действительные числа.
Как показано в разделе 3 статьи автора, включенной в настоящий курс в качестве лекций 9—11, состояние [ а) можно описать волновым пакетом с минимальной неопределенностью, имеющим средние значения координаты q' и импульса р'.
Если использовать далее представление Шредингера и проследить изменение состояния во времени, то мы увидим, что состояние остается когерентным, а зависимость его амплитуды от времени имеет вид ае~ш. Движение вектора амплитуды в комплексной плоскости происходит по окружности | а | = const, которая в плоскости р' и q' соответствует упомянутому выше эллипсу.
Ясно, что комплексная a-плоскость есть просто видоизменение двумерного фазового пространства. Казалось бы, что с этой точки зрения волновые пакеты когерентных состояний можно представить себе как «облака» вероятности, центры которых движутся по круговым путям. Однако такое представление является в сущности классическим. В квантовой механике наблюдаемые величины р и q не могут измеряться одновременно с произвольной степенью точности, и, следовательно, отчасти теряет смысл попытка говорить об общем распределении вероятности для переменных р' и q'. Учитывая эти ограничения, можно, конечно, говорить о распределении вероятностей для обеих переменных, однако более удобным является другой подход.
Введенное выше P-представление оператора плотности (см. лекции 9—11) можно рассматривать как определение понятия, адекватного понятию распределения вероятности в фазовом пространстве. Комплексная a-плоскость, на которой определена P-функция, есть видоизменение понятия фазового пространства. Более того, как мы уже отмечали, P-функция имеет ряд свойств, общих с распределением вероятности; однако эта функция может иметь отрицательное значение и сингулярности, что не свойственно функции плотности вероятности. Такое поведение P-функции не должно казаться странным, поскольку она в противоположность распределению плотности вероятности не является непосредственно измеряемой физической величиной.
Величина Р (а) по определению обладает рядом свойств функции распределения плотности вероятности в фазовом пространстве, однако она не тождественна ей. Позднее мы обсудим некоторые другие примеры таких функций (которые, по-видимому, ,лучше всего называть плотностями квазивероятности) и покажем их связь с P-представлением. Сначала, однако, вернемся к вопросу о применимости P-представления вообще.
2. /^представление и проблема моментов
Из примера, данного в статье (лекции 9—11), ясно, что Р-пред-ставление оператора плотности можно с успехом использовать для описания весьма широкого класса полей, однако до сих пор этот вопрос до конца детально не исследован. Сударшан *) указывал в короткой заметке, что диагональное представление оператора плотности с помощью когерентных состояний можно использовать для представления произвольного поля. Он дал точное выражение для весовой функции такого представления в виде неограниченной суммы производных произвольно высокого порядка от б-функции. Он указал, что при такой записи оператора плотности «описание статистических состояний квантовомеханической системы... полностью эквивалентно описанию с помощью классических распределений вероятности».
Способ, которым можно получить выражение Сударшана для функции Р (а), заключается в следующем. Рассматриваем матричный элемент оператора плотности для n-го квантового состояния. Согласно уравнению (С 7.12), эти матричные элементы есть комплексные моменты
(п ] е | т) = (п\т\)~1/г ^ Р (а) (a*)mand2a
весовой функции Р (а). В общем случае нам необходимо решать полную систему таких уравнений для всех п и т, т. е. найти матрицу, элементы которой дают матрицу моментов. Таким образом, в общем виде эта задача трудно разрешима. Решение Сударшана основано на использовании некоторых замечательных свойств S-функции и ее производных. Рассмотрим для простоты сначала одномерный случай.
Предположим, что нам нужно найти функцию f{x), определенную в интервале —- оо <с л: <С °°, по заданному набору ее моментов Мп
оо
J f(x)xndx = Mn, п — 0, 1, 2, .... (13.3)
— 00
Если j-ю производную б-функции записать в виде
60)W = T7SW’ <13-4)
dx>
то моменты 6-функции будут иметь вид
оо
J xk8d)(x)dx = (-iy j\8jk. (13.5)
J) Sudarshan E.C.Q., Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).
Другими словами, каждая производная б-функции имеет один
