Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
2л
^ X (q>)dq=l, (10.5)
о
то оператор плотности имеет вид
q = jj X (ф) | {е^ак}) ({е^ак} \ dy
(10.6)
о
и при любом выборе X (ф) приводит к корреляционным функциям (10.4). Этот оператор плотности, конечно, есть частный случай оператора общего вида (9.12), который соответствует полной неопределенности в фазе {а*}. Обычно выбирают X (ф) = (2я)-1 (т. е. полностью пренебрегают фазой), что соответствует нашей информации о высокочастотных полях. Именно поэтому мы определили когерентность через набор корреляционных функций, которые не зависят от фазы.
Поскольку многие типы нестационарных полей можно представить с помощью функций собственных значений, то построение соответствующих квантовых состояний не вызывает затруднений. В качестве примера можно рассмотреть амплитудно-модулированную плоскую волну. Для этой цели используем конкретный набор функций мод, определяемых выражением (2.9). Тогда, если несущая имеет частоту со, а модуляция является периодической с частотой ?со, где 0 < С < 1, то соответствующую функцию собственного значения можно записать в виде
При разложении этого выражения по плоским волнам получается только три отличных от нуля члена: один с амплитудой ак и два боковых с амплитудами
Зная эти амплитуды, можно сразу же построить когерентное состояние для модулированной волны. Однако в действительности мы часто не знаем фазу ак, и поэтому волну приходится представлять не отдельным когерентным состоянием, а их суперпозицией типа (10.6). Аналогично можно также получить и другие типы представлений модулированных волн.
Некогерентные поля, т. е. широкий класс полей, для которых функции корреляции не распадаются на множители (не факторизованы), следует описывать операторами плотности более общего вида, чем (10.3) или (10.6). Чтобы показать, какую форму прини-
х {1 -f М cos[?(k-r — со/) — 6]} ei<k'r~(0i). (Ю.7)
аЧ1_1) = \М(\-1Г1/*е*ак, aHl+l) = \M{\+Q-lhe-*ak.
(10.8)
мают корреляционные функции в этом случае, предположим, что
поле описывается оператором плотности в P-представлении. Тогда
корреляционная функция первого порядка дается выражением
С (п, г г) = J р (Ы) 2 (““')1/2 х
к, к'
X ы?ц, (г) uh'y (г') a*ah'ei(t0<_“'t') Д d2at. (10.9)
i
Если P-представление обладает значительной сингулярностью, то, как отмечалось выше, поле всегда можно описать аналитическими функциями R ({а*}, {Р^}) и соответствующими операторами плотности вида (9.5). При вычислении с помощью этих операторов корреляционной функции первого порядка получаем
G$(rf, r7')= J R({at}, {|3fe})2 уЛХ
к', к"
X (co'co")1/2w*'n (г) uk«y (г') Ph'CCfe» X
х ei(a>'t-a>”t') Д е®1<*1 d\i(a.i) d\i (рг), (10.10)
i
где дифференциалы е(ц(аг) и dfx(|3*) определяются выражением (5.14). Корреляционные функции более высокого порядка задаются интегралами, аналогичными (10.9) и (10.10). Только в этом случае подынтегральное выражение содержит полином степени 2п по амплитудным переменным ah и |3*, а не квадратичную форму, как это имеет место для функций первого порядка.
Зная корреляционную функцию первого порядка, легко получить энергетический спектр поля излучения. Если вернуться к разложению оператора положительно-частотной части поля (2.19), а для отрицательно-частотной части поля использовать выражение, эрмитово-сопряженное (2.19), то можно видеть, что эти операторы удовлетворяют тождеству
2 J Е(-) (г0 Е(+) (rO dr = 2 (10.11)
k
Взяв статистическое среднее от обеих частей этого равенства, получим
2 ^ rt’)dr= у2 й® («О ei0)('~n. (10.12)
|A к
где (nk) есть среднее число фотонов в k-й моде. Поэтому фурье-преобразование объемного интеграла от 2 определяет энергети-
ческий спектр Ъа (пк) в самом общем случае.
Получение энергетического спектра из корреляционной функции для полей, представляемых стационарными операторами плотности, еще проще. Для таких полей весовая функция Р ({ай}) зависит только от абсолютных значений ай, так что
\ Р ({aft}) a*h'ak» Д d2ai = t)
I
= <|oifc'|2>W = <nfc'>6ft*ft.. (10.13)
Использу ч при вычислении корреляционной функции выражение (10.9) и ограничиваясь случаем плоских волн, получаем соотношение, в котором явно показана роль индекса поляризации X:
24У(Г*» г/') = у (10.14)
М. h, %
