Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Q (A, i) = e~'Awt. (17.57)
Эта функция, как мы уже видели, ведет к распределению Пуассона. Это распределение и должно иметь место, если отсутствует тенденция для фотонов прибывать коррелированными группами, а для амплитуды поля флуктуировать случайным образом.
Чтобы обсудить распределение и моменты, которые следуют из производящей функции (17.5), полезно ввести последовательность полиномов
So(?) = Si(?)= 1,
s2 (?) = 1 + ’ (17.58)
53 (?) = 1 +-g- + |а »
/^\ 1 i ^ .15.15
54 (ё) — 1 + “|“ + |2 +|3 •
Дальнейшие члены последовательности даются рекуррентной
формулой
sn+i (1) = — sn(l)+(^l + sn (fe)- (17.59)
Эти полиномы хорошо известны в теории функций Бесселя. Их можно также получить из выражения
sn(l) = el(^yhKn-yAl), (17-60)
где /Сп-1/2 есть видоизмененная функция Ханкеля полуцелого порядка.
Если мы разложим теперь производящую функцию (17.56) в степенной ряд около точки Я = 1 и определим его коэффициенты,
то найдем, что вероятность получения отсчета т за время t есть
Р(т, t) = ~-Q^)msm(Tt)e-<r-yV, (17.61)
где
Г = (у2 + 2щгу)1/2. (17.62)
Распределение (17.61) имеет то же самое среднее значение wt, что и распределение Пуассона, которое следует из производящей функции (17.57). Однако дисперсия всегда много больше, чем в распределении Пуассона ввиду эффекта сцепления фотонов.
Разложение производящей функции (17.56) в степенной ряд вблизи точки X = 0 имеет вид
оо
(3(У) = 2 .(17.63)
п—0
Отсюда заключаем, что факториальные моменты распределения (17.61) даются формулой
<(C^01> = (“'^(YO = (C(C-1).. ,(С-п+ 1)}. (17.64)
Для распределения Пуассона эти моменты будут просто (wt)'1. По формуле (17.64) первые два момента равны
(C) = wt, (17.65)
(С(С—1)> = (®02 (l+^) • (17.66)
Дисперсия числа счетов есть, таким образом,
<С2)-<С)2 = <С) {l+^} • (17.67)
Член (C)2/yt есть дополнение к дисперсии, вызванное тем, что
времена прибытия фотонов не являются статистически независи-
мыми одно от другого.
