Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
[J(l + ХаМ;) = ехр {2 In ( 1 + XcMiS\.
det(1 +Ш) = ехр (XaMt — уХЧ1\ + ..
i
= ехр jSp (кМ-±-Х2М2+ . . .^)}
— ехр {Sp In (1 -f- ХМ)}.
(17.44)
Q(^, /‘) = e-sPin(i+>.M).
(17.45)
18*
Разлагая логарифм по степеням Я, имеем
оо
Q(K 0 = ехр{2 - (17-46)
Г=1
где 1Г определено как
/r = Sp{Mr}. (17.47)
Если мы вспомним определение матрицы М, данное равенствами (17.41) и (17.38), то увидим, что для r = 1
= П 2(x'k)е (x"k) <я*>v (х’’х")dH'dix"-
h
Сумма по k под интегралом, согласно (14.32), есть просто функция корреляции первого порядка, поэтому
х") V {х'х") d*x' d*x". (17.48)
Сравнивая равенство (17.46) с равенствами (14.27) и (14.28), мы
видим, что этот член (г = 1) имеет ту же самую форму, что и показатель производящей функции для случая полностью когерентного поля. Утрата когерентности в гауссовом случае отражена присутствием в экспоненте добавочного члена с г> 2. Используя далее матрицу М, мы можем показать, что общее выражение для ]г есть циклический интеграл
Г
/г= ^ Д G(1) (xj, x'j+i)V (х), x"j) d4x'j d*x"j, (17.49)
3 = 1
в котором координату x"_i_i нужно интерпретировать как х”. Для широкополосных детекторов определения (17.22) и (4.14) позволяют упростить этот интеграл: t 1
r'jt), r'j+li'j+1)a(rj)dr'j. (17.50)
0 0 j j
Чтобы вычислить эти интегралы, предположим, что наше поле состоит из плоских волн, идущих в положительном направлении оси у, так что функция корреляции первого порядка дается равенством (15.1). Эта функция, естественно, зависит только от координаты у. Примем далее, что область чувствительности счетчика, . т. е. его фотокатода, есть очень тонкий слой атомов, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси у, т. е. что функция а (г) есть по существу б-функция координаты у. При этих предположениях, часто оправдывающихся на практике, пространственное инте-
грирование в равенстве (17.50) становится тривиальным. Функции G(1> не зависят от пространственных координат во всех точках, где функция а (г) отлична от нуля.
Временные интегралы в выражении (17.50) значительно менее тривиальны, но мы можем обсудить формы, которые они принимают за короткое и продолжительное время. Если t много меньше обратной ширины полосы частот поля излучения, то функции G(1) практически не будут изменяться во всем интервале от 0 до t. Для таких времен интеграл 1Г должен быть просто пропорционален Если мы запишем /j как wt, где w — коэффициент пропорциональности, то элементарный характер пространственных интегрирований позволяет показать, что общий результат должен выражаться в виде
Ir = (wt)T. (17.51)
Если этот результат подставить в равенство (17.46), то мы найдем что производящая функция для малых значений t есть
Q (X, t) = ехр {— In (1 + Xwt)} = t . (17.52)
Распределение вероятности для числа счетов дается, согласно равенству (17.10), выражением
р(т, 0 = ¦ (17.53)
Распределение для коротких времен дается, таким образом, степенным законом, не отличающимся от распределения Планка. Среднее число счетов есть wt, так что w является просто средней скоростью счета.
Для времен t, которые значительно превосходят обратную ширину полосы частот поля излучения, также возможно упрощение интеграла 1Т. В этом случае его значения чувствительны, однако, к изменению спектрального распределения энергии, заключенной в поле. Примем в качестве примера, что частотный спектр имеет лоренцеву форму
(пи)Пщ = ^_с°^+у2. (17.54)
Временная зависимость функции корреляции первого порядка дается в этом случае равенством (15.8). Если эту функцию подставить в интеграл (17.50), то можно видеть, что ввиду циклической структуры подынтегрального выражения все интегралы 1Г будут возрастать линейно со временем при t > у-1- Мы снова можем определить среднюю скорость счета w, записывая интеграл /j как wt. После этого нетрудно показать, что полный набор интегралов 1Г можно
записать в виде
<17-55>
при t > у *.
Имея эти значения для 1Т, можно провести суммирование ряда в показателе в равенстве (17.46). Выполняя его для производящей функции, находим
Q(A, t) = ехр { — [('у2 + 2уо>А,)1/2 — (17.56)
Если скорость счета w мала по сравнению с шириной полосы частот, т. е. w < у, то выражение в экспоненте можно разложить, и мы находим, что в наинизшем приближении производящая функция сводится к экспоненте
